Grenzwert rekursiver Folge

Question

Aufgabe:

Die ersten Folgenglieder angeben und Grenzwert der rekursiven Folge bestimmen:

$$(a_{n})_{n\geq 0}$$ mit $$a_{0}\in (0,1)\text{ und }a_{n+1}=2*a_{n}-a_{n}^{2}=a_{n}*(2-a_{n})$$

Problem/Ansatz:

Ich habe schon mehrere Aufgaben mit rekursiven Folgen gelöst, komme hier jedoch nicht weiter - Der Grenzwert a=1 soll rauskommen.

Ich verstehe auch nicht, was a0 sein soll - ein Intervall?

Danke für die Hilfe.

Answer 1

Aloha :)

Die Rekursionsvorschrift schreiben wir mit Hilfe der 2-ten binomischen Formel etwas um:$$a_{n+1}=2a_n-a_n^2=1-(a_n-1)^2\quad;\quad a_0\in(0|1)$$

1) Beschränktheit

Wir zeigen durch Induktion, dass $a_n\in(0|1)$ für alle $n\in\mathbb N_0$. Der Induktionsanfang ist mit $a_0\in(0|1)$ klar. Der Induktionsschritt ist dann:$$a_n\in(0|1)\implies a_n-1\in(-1|0)\implies(a_n-1)^2\in(0|1)\implies$$$$-(a_n-1)^2\in(-1|0)\implies1-(a_n-1)^2\in(0|1)\implies a_{n+1}\in(0|1)\quad\checkmark$$

2) Monotnie

Wir zeigen, dass die Folge streng monoton wächst:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2a_n-a_n^2}{a_n}=2-a_n\stackrel{a_n\in(0|1)}{>}1\implies a_{n+1}>a_n\quad\checkmark$$

3) Grenzwert

Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Wir bestimmen den Grenzwert:$$\left.a_{n+1}=2a_n-a_n^2\quad\right|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=2\lim\limits_{n\to\infty}a_n-\left(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\right)^2\quad\right|\text{Sei \(a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}\)}$$$$\left.a=2a-a^2\quad\right|-a$$$$\left.a-a^2=0\quad\right|\text{\(a\) ausklammern}$$$$\left.a(1-a)=0\quad\right|\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$a=0\;\lor\;a=1$$Da die Folge streng monoton wächst, lautet der Grenzwert $a=1$.

Comments

Danke:) und habe ich richtig verstanden das (0,1) ein Intervall  und kein Tupel ist? Intervall würde ja bedeuten alle Folgenglieder liegen zwischen 0 und 1 - Tupel, das alle Folgenglieder nur 0 oder 1 annehmen können. Und kann man zum Beispiel a1 und a2 explizit mit der Rekursionsvorschrift angeben ?

Danke für die Hilfe.

---

Ich hatte auch kurz überlegt, aber die $a_n$ können keine Tupel sein. Dann wäre $a_0$ ein Vektor aus $\mathbb R^2$, aber alle anderen Folgenglieder sind auf Grund der Rekursionsvorschrift Skalare aus $\mathbb R$. $(0|1)$ ist ja auch die Schreibweise für ein offenes Intervall.

Die ersten Folgenglieder kannst du nur in Abhängigkeit von $a_0$ angeben, weil der konkrete Startwert ja nicht gegeben ist.$$a_1=1-(a_0-1)^2$$$$a_2=1-(a_1-1)^2=1-(1-(a_0-1)^2-1)^2=1-(a_0-1)^4$$$$a_3=1-(a_2-1)^2=1-(1-(a_0-1)^4-1)^2=1-(a_0-1)^8$$