Prüfe ob < , > nicht ausgeartet ist und Bestimme eine Basis

Question

Aufgabe:

sei V=ℤ₃⁴ und sei B die Standardbasis von V. Betrachten Sie die Matrix
A=

0	1	0	2
2	0	2	1
0	1	0	1
1	2	2	0

∈ ℤ₃^4x4
Sei ⟨ , ⟩: V x V → ℤ₃ : (v,w) ↦ v_BAw_B^T die von A definierte Bilinearform

a) Prüfen Sie, ob ⟨ , ⟩ nicht ausgeartet ist.

b) Sei v = (1,0,2,2) ∈ V. Bestimmen Sie eine Basis von v^⊥

Comments

Hallo,

zu a): Die Bilifo ist doch nicht ausgeartet wenn Rang(A)=n gilt. Und $$Rang(A)=n \Longleftrightarrow det(A)\neq 0$$ Also bestimme die Determinante der Matrix und schaue was heraus kommt.

zu b): Ich bin der Meinung man müsste mit dem Gram-Schmidt Verfahren die orthogonalen Vektoren zu v bestimmen (dies kannst du ja dann mit einer beliebigen Basis machen) und hättest dann orthogonale Vektoren zu v die eine Basis bilden? Ich weiß nicht ob mein Ansatz in diesem Aufgabenteil korrekt ist. Habe selber auch grade schwierigkeiten mit der Aufgabe. Falls ich näheres weiß, gebe ich Bescheid:)

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Sorry mein Ansatz zu b) war völliger Blödsinn. Du weißt bei deiner Abbildung ja dass für alle w orthogonal zu v gelten muss: v*A*w^T=0. Dann setzt man ein und erhältst ein GLS mit den Unbekannten w1,w2,w3,w4. Dann heißt es nur noch eine Basis daraus basteln:)

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vielen Dank!

Answer 1

Zu b):

Gesucht ist eine Basis von $\ker(\varphi)$, wobei $\varphi$

die Linearform $\varphi:\; v\mapsto \langle v,(1,0,2,2)\rangle$ ist.

Es ist $(1,0,2,2)\cdot A=(2,1,1,1)$ und daher

$\ker(\varphi)=\{(x_1,x_2,x_3,x_4):\; 2x_1+x_2+x_3+x_4=0\}$

Man sieht sofort, dass

$v_1=(0,1,1,1),\; v_2=(1,1,0,0), \; v_3=(1,0,1,0)$ im Kern liegen

und linear unabhängig sind. Daher bilden sie eine Basis,

da der Kern die Dimension 4-1=3 hat.