Drittes Taylorpolynom mit e-Funktion berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das dritte Taylorpolynom der folgenden Funktion f : ℝ→ℝ  im angegebenen Entwicklungspunkt a. Vereinfachen Sie dabei die Ausdrucke so weit wie möglich.

$$f(x)=e^{4 x^{2}+x}, a=0$$

Problem/Ansatz:

Hatte überlegt das einzeln zu lösen also mit

$$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n}$$ und

$$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}$$

allerdings habe ich das nicht hinbekommen. Vielleicht weiß ja jemand wie das funktioniert.

Answer 1

Das dritte Taylorpolynom von \(f(x)=e^{4 x^{2}+x}\) um Entwicklungspunkt \(0\) ist

\(\frac{f(0)}{0!}x^0 + \frac{f'(0)}{1!}\cdot x^1 + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3\)

Answer 2

$$\begin{aligned}\mathrm e^{4x^2+x}&=1+(4x^2+x)+\tfrac12\left(4x^2+x\right)^2+\tfrac16\left(4x^2+x\right)^3+O(x^4)\\&=1+x+\tfrac92x^2+\tfrac{25}6x^3+O(x^4).\end{aligned}$$