ich hab hier diese Aufgabe zu Orthonormalbasen(ONB) und leider gar keine Ahnung, wie ich die angehen soll. Könnte mir jemand dabei helfen? (T^T ist die transponierte Matrix T)
Vielen Dank im Voraus.
Aufgabe:
Sei A ∈ R^N×N symmetrisch. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass
eine ONB aus Eigenvektoren von A existiert, durch folgende Schritte:
• Ignorieren Sie den Induktionsanfang: Für N = 1 ist 1 eine ONB von R.
• Wählen Sie einen reellen Eigenwert λ1 von A mit zugehörigem Eigenvektor
v^1, ergänzen Sie diesen zu einer ONB von R^N und konstruieren Sie damit
eine orthogonale Matrix T, sodass T^T*e^1 = v^1 gilt.
(a) Zeigen Sie, dass T AT^T symmetrisch ist. Stellen Sie damit das Produkt
T AT^T so dar, dass Sie die Induktionsvoraussetzung anwenden können.
(b) Wenden Sie die Induktionsvoraussetzung an, um eine ONB von R^N−1zu
erhalten und erklären Sie, wie Sie daraus eine ONB von R
N aus Eigenvektoren von A konstruieren können
Bemerkung: Die Existenz einer ONB aus Eigenvektoren von A ist nach Vorlesung äquivalent zur orthogonalen Diagonalisierbarkeit von A: Es existiert
eine orthogonale Matrix S ∈ R^N×N mit
SAS^T = diag(λ1, . . . , λN ).
Dabei sind die Spalten von S^T die normierten Eigenvektoren von A
