Mit Quotientenkriterium Grenzwert untersuchen

Question

kann mir jemand sagen, ob das so richtig ist:

Ich soll schauen, ob es ein Grenzwert gibt.

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}  \frac{2^k · k^k}{k!^2} \)  

Wenn ich das Quotientenkriterium anwende,dann erhalte ich:

\( \frac{2^{k+1} · (k!)^2 ·(k+1)(k+1)^k }{2^k (k!)^2 (k+1)^2 ·k^k} \)

= \( \frac{2(k+1)^k}{(k+1)k^k} \)

Ist das ao richtig? Kann mann das als Lösung anerkennen? Weiter zusammenfassen kann man das irgendwie nicht.

Answer 1

Hallo

doch schreib es um als 2/(k+1)*(1+1/k)^k

Gruß lul

Comments

Jetzt ist mir alles klar, danke.

Answer 2

Aloha :)

Du musst zeigen, dass der Quotient gegen einen Wert \(c<1\) konvergiert. Es reicht nicht zu zeigen, dass der Grenzwert des Quotient kleiner als \(1\) ist.

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{2^{k+1}\cdot (k+1)^{k+1}}{((k+1)!)^2}}{\frac{2^k\cdot k^k}{(k!)^2}}=\frac{2^{k+1}\cdot (k+1)^{k+1}}{((k+1)!)^2}\cdot\frac{(k!)^2}{2^k\cdot k^k}=\frac{2^{k+1}}{2^k}\cdot\frac{(k+1)^{k+1}}{k^k}\cdot\frac{(k!)^2}{((k+1)!)^2}$$$$\phantom{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=2\cdot(k+1)\cdot\left(\frac{k+1}{k}\right)^k\cdot\left(\frac{k!}{(k+1)!}\right)^2=2\cdot(k+1)\cdot\left(\frac{k+1}{k}\right)^k\cdot\frac{1}{(k+1)^2}$$$$\phantom{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{2}{k+1}\cdot\left(\frac{k+1}{k}\right)^k=\frac{2}{k+1}\cdot\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$$Das ist dasselbe, was du auch raus hast. Weiter geht es mit dem Grenzwert:$$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac{2}{k+1}\right)\cdot\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=0\cdot e=0<1$$

Die Reihe konvergiert also.

Comments

Danke, jetzt ist mir alle klar.