gebrochene rationale Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Eine gebrochene rationale Funktion besitzt die Eigenschaften:

a) Nullstellen: x₁ = 2 (einfach); x₂ = -4 (doppelt)

b) Pole: x₃ = -1; x₄ = 1

c) y(0) = 4

Problem/Ansatz:

a) (x-2)(x+4)²

b) 1(x+1)(x-1)

c) (x³ +6x² -32) / (x² - 1) - 28

= (x³ +6x² -32) / (x² - 1) - 28(x² -1) / (x² -1)

= (x³ + 6x² -32 -28x² + 28) / (x² -1)

Answer 1

Fange nicht an auszumultiplizieren

f(x) = a·(x - 2)·(x + 4)^2 / (x^2 - 1)

f(0) = a·(0 - 2)·(0 + 4)^2 / (0^2 - 1) = 4 → a = 1/8

Damit lautet die Funktion

f(x) = 1/8·(x - 2)·(x + 4)^2 / (x^2 - 1) = (x - 2)·(x + 4)^2 / (8·(x^2 - 1))

Answer 2

(x^{3} +6x^{2} -32) / (x^{2} - 1) - 28

Der Fehler entsteht beim Subtrahieren der 28. Dadurch verschieben sich die Nullstellen.

(x^{3} +6x^{2} -32) / (x^{2} - 1) ist für x=0 → 32.

Um 4 zu erhalten, ohne die Nullstellen zu verändern musst du durch 8 dividieren oder mit 1/8 multiplizieren.

(x^{3} +6x^{2} -32) /[8 (x^{2} - 1)]

=(x^{3} +6x^{2} -32) / (8x^{2} - 8)

:-)

Comments

Und (x³ - 22x² -4)/(x² -1)

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Für x=2 kommt -28 raus. Es soll aber eine Nullstelle sein.

:-)