Aloha :)
Von den 5 Tomaten sind 2 grün. Es werden 3 Tomaten ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit, genau \(n\) grüne Tomaten auszuwählen beträgt:$$p_n=\frac{\binom{2}{n}\cdot\binom{3}{3-n}}{\binom{5}{3}}$$Das überlegt man sich wie folgt. Es gibt \(\binom{2}{n}\) Möglichkeiten, von den 2 grünen Tomaten genau \(n\) auszwählen. Von den 3 nicht-grünen Tomaten müssen dann noch \((3-n)\) ausgewählt werden, dafür gibt es \(\binom{3}{3-n}\) Möglichkeiten. Die Anzahl der günstigen Fälle ist das Produkt aus beiden Binomialkoeffizienten und steht im Zähler. Im Nenner steht die Anzahl aller möglichen Fälle und es gibt genau \(\binom{5}{3}\) Möglichkeiten, aus 5 Tomaten genau 3 auszuwählen.
Wir setzen ein:
$$p_0=\frac{\binom{2}{0}\cdot\binom{3}{3-0}}{\binom{5}{3}}=\frac{1\cdot1}{10}=\frac{1}{10}$$$$p_1=\frac{\binom{2}{1}\cdot\binom{3}{3-1}}{\binom{5}{3}}=\frac{2\cdot3}{10}=\frac{6}{10}$$$$p_2=\frac{\binom{2}{2}\cdot\binom{3}{3-2}}{\binom{5}{3}}=\frac{1\cdot3}{10}=\frac{3}{10}$$
