Grenzwert einer konvergenten Folge bestimmen

Question

Aufgabe:

Man soll überprüfen ob die Folge kovergent ist, und falls ja welchen Grenzwert sie hat.

a_n = $\frac{ n^2 - 1}{n^3 + 2}$ + $\frac{ n^2 - 1}{n^3 + 4}$ + ... + $\frac{ n^2 - 1}{n^3 + 2n}$

Problem/Ansatz:

Meine Idee war das Sandwich-Kriterium anzuwenden, aber ich weiß nicht genau man das mit so einer Folge machen soll.. Ich bedanke mich im voraus für jede Antwort! :)

Answer 1

Hallo, Sandwhich-Kriterium ist hier ein guter Ansatz. Man kann ja diese Folge etwas umschreiben, zb so hier:

$a_n= \frac{ n^2 - 1}{n^3 + 2}$ + $\frac{ n^2 - 1}{n^3 + 4}$ + ... + $\frac{ n^2 - 1}{n^3 + 2n}=(n^2-1)\cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n^3+2k}$. Wenn du nun $a_n$ betrachtest, wirst du sehen, dass stets für alle $n\geq 1$ auch $0\leq a_n$ gilt. Frage an dich: Wie kannst du nun die Summe $\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n^3+2k}$ jeweils nach oben und unten gliedweise abschätzen? Damit kannst du sehr schnell einsehen, gegen was dein $a_n$ konvergiert.

Comments

Hallo,

erstmals vielen Dank für die Antwort! :)

Dann soll gelten, dass b_n ≤ a_n ≤ c_n . Also ich kann sagen, dass b_n:= n*  $\frac{n^2 -1}{n^3 + 2n}$ und c_n:= n* $\frac{(n^2 - 1)}{ n^3 }$ ist, oder?

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Ja, das klappt. Und gerne! :)