wie berechnet man nullstellen schnittpunkte und schnittwinkel

Question

Aufgabe: f(x)= 4x-x² g(x)= x

Problem/Ansatz:

nullstellen berechnen mit rechnungsweg und die schnittpunkte bitte

und den schnittwinkel an der stelle x0=0

Answer 1

Nullstellen:

f(x)=4x-x^2=x(4-x)=0

x=0 oder x=4

g(x)=x=0

x=0

Schnittpunkte:

f(x)=g(x)

4x-x^2=x     |-x

...

x=0 oder x=...

Schnittwinkel φ:

f'(x)=4-2x

f'(0)=4=tanα --> α= ...

g'(x)=1=tanβ --> β=45°

φ=|α-β|

:-)

Answer 2

Nullstellen berechnet man indem man den Funktionsterm gleich 0 setzt und die Gleichung löst. Quadratische Gleichungen löst man zur Not mit der pq-Formel.

Schnittpunkte berechnet man indem man die zwei Funktionsterme der sich schneidenden Funktionen gleichsetzt und dann die Gleichung löst. Die so gefundenen x-Koordinaten der Schnittpunkte werden dann in eine der Funktionen eingesetzt um die dazu passenden y-Koordinaten zu berechnen.

Schnittwinkel von f(x)= 4x-x² und g(x)= x an der Stelle x₀ = 0:

1. Ableitungen an der Stelle x₀ bestimmen
   

   f'(x) = 4 - 2x    ⇒    f'(0) = 4 - 2·0 = 4

   g'(x) = 1    ⇒    g'(0) = 1
   

2. Winkel der Funktionen zur x-Achse berechnen

   tan(α_f) = 4    ⇒    α_f = arctan(4) ≈75,9638°
   

   tan(α_g) = 1    ⇒    α_g = arctan(1) = 45°

3. Winkel subtrahieren

   α ≈ 75,9638° - 45° ≈ 35,9638°
   

Answer 3

I.) Nullstellen = Schnittpunkte mit x-Achse y = 0 setzen

f(x) = y = -4x² + 4 x = 0                | 4x ausklammern
x( -x + 4) = 0                               | Nullproduktregel anwenden
1. Nullstelle: x₁ = 0
2.Nullstelle: -x₂ + 4 = 0
x₂ = 4
Nullstelle für g(x) = x ; g(x) = 0  x= 0

II.) Schnittpunkte der Parabel f(x) und Gerade g(x)

Lösungsweg: Funktionen gleich setzen f(x) = g(x)
4x - x² = x
-x² + 3x = 0
x( -x + 3)= 0
Nullproduktregel anwenden
x_S1 = 0
- x_S2 + 3= 0
x_S2 = 3
f(x_s1=0) = 0
f(x_s2=3) = -3² + 4*3 = 3
Schnittpunkte
S₁( 0 ; 0)
S₂(3 ; 3)
Schnittwinkel an der Stelle x = 0

tan α = (y-Koordinate Schnittpunkt)/(x-Koordinate Schnittpunkt) =3/3 = 1

α = 45°

Comments

Korrektur:

I.) Nullstellen = Schnittpunkte mit x-Achse y = 0 setzen
f(x) = y = -x² + 4 x = 0               | x ausklammern
x( -x + 4) = 0                            | Nullproduktregel anwenden