Wie groß ist die von Fluss und Straße eingeschlossene Fläche (LE: 1km)?

Question

Aufgabe:

Ein Fluss verläuft längs der x-Achse. Der Verlauf einer Straße wird beschrieben durch die Funktion f(x)= x * e^(2-x) (x liegt zwischen 0 und 2; 0 und 2 sind auch möglich) sowie eine quadratische Funktion g, die an f im Punkt P(2/2) ohne Knick anschließt und auf den Fluss im Punkt Q (6/0) trifft. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von g. Weisen Sie nach, dass F(x)= -(x+1) * e^(2-x) eine Stammfunktion von f ist. Wie groß ist die von Fluss und Straße eingeschlossene Fläche (LE: 1km)?

Problem/Ansatz:

Ich habe einen Lösungsweg, denn verstehe ich aber nicht ganz.

Wie kommt man beim Bilden der ersten Ableitung von der zweiten zur dritten Zeile?
 2+1 = 3 ist, verstehe ich auch nicht ganz, wie man auf f'(2) = -1 kommt. Und wie kommt auf die Gleichung für g?

Answer 1

Wie kommt man beim Bilden der ersten Ableitung von der zweiten zur dritten Zeile?

Am besten überhaupt nicht; der Umformungsschritt ist falsch.

Es wurde versucht, \(e^{2-x}\) auszuklammern. Korrekt liefert das aber

       \(f'(x) = (1-x)e^{2-x}\).

2+1 = 3 ist, verstehe ich auch nicht ganz, wie man auf f'(2) = -1 kommt.

Ich verstehe auch nicht, wie man von einem falschen \(f'(x)\) zu einem richtigen \(f'(2)\) kommt.

Sag bescheid falls du es auch mit dem richtigen \(f'(x)\) nicht verstehst.

Und wie kommt auf die Gleichung für g?

Das ist eine Steckbriefaufgabe. Die Funktion \(g\) soll folgende Bedingungen erfüllen.

Quadratisch, also

(0)        \(g(x) = ax^2 + bx + c\).

Durch den Punkte \((2|2)\) verlaufen, also

(1)        \(2 = a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + c\).

Durch den Punkt \((6|0)\) verlaufen, also

(2)        \(0 = a\cdot 6^2 + b\cdot 6 + c\).

Knickfrei zu \(f\) an der Stelle \(2\) sein. Das heißt \(f'(2) = g'(2)\) und wegen

        \(g'(x) = 2ax+ b\)    und    \(f'(2) = -1\)

muss somit

(3)        \(-1 = 2a\cdot 2+ b\)

gelten.

Die Funktion \(g\) berechnet man nun indem man das Gleichungssystem (1), (2), (3) löst und in (0) einsetzt.

Comments

Danke dir echt!