Stammfunktion, Ableitung und Integral im Sachzusammenhang verstehen

Question

Wie der Titel schon sagt habe ich Probleme beim Sachverständnis von Aufgaben, welche Ableitungen (oder Stammfunktionen) und Integrale benutzen.

Zum Beispiel könnte man mir jetzt eine Funktion zeigen, welche wiedergibt wie viel Wasser pro Sekunde in ein Gefäß fließt. Ich hätte kein Problem damit die Stammfunktion oder die Ableitung zu bilden, Extremwerte rauszusuchen oder das Integral eines bestimmten Intervalls zu berechnen.

Womit ich jedoch Probleme habe ist das Sachverständnis. Wenn die Funktion f(x) angibt wie viel Wasser pro Sekunde in ein Gefäß fließt, was zeigt dann die Stammfunktion bzw. die Ableitung und was rechne ich überhaupt mit dem Integral aus?

Ich verstehe, dass die Ableitung f´(x) z.B. die momentane Steigung der Funktion f(x) an jedem beliebigen Punkt x wiedergeben kann, aber ich habe Probleme damit dies auf Sachzusammenhänge zu beziehen, wie Geschwindigkeit oder das Wachstum einer Population.

Comments

Du schreibst: Aber was würde dann ein Koordinatensystem Nr. 0 (Also die 'Aufleitung' zum Koordinatensystem Nr.1) aussagen? Macht das überhaupt Sinn außerhalb der Mathematik?

Nein, das würde dann keinen Sinn ergeben, weil theoretisch von Koordinatensystem Nr. 0 zu Nr. 1 müsstest du die Funktion ableiten, aber das wäre hier 0 weil du nichts in Koordinatensystem Nr.0  hättest.

In dem Fall von Koordinatensystem 1 kannst du ableiten und bekommst, was im Koordinatensystem Nr. 2 steht, aber wenn du Koordinatensystem 1 aufleitest/integrierst, bekommst du nicht Koordinatensystem 2 heraus.

---

Ja das macht Sinn, das hätte mich auch überrascht. Danke nochmal :)

Answer 1

Nehmen wir als Beispiel die Geschwindigkeit, die die Ableitung des Weges ist. Was heißt das nun? Angenommen, du gehst langsam einen 1 km langen Weg entlang und zwar so, dass du gleichmäßig langsam gehst, du wirst nicht schneller und machst auch keine Pause. Deine Geschwindigkeit ist also konstant, weil sie sich NICHT verändert. Das nennen wir f(x), die Funktion.

Wenn du dann plötzlich anfängst zu laufen, ist deine Geschwindigkeit nicht mehr konstant, weil sie sich jetzt verändert.  In diesem Fall erreichst du die 1 km Weg schneller als wenn du langsam läufst, das heißt, du gewinnst an Zeit. Jetzt haben wir die Ableitung der Funktion f(x), nämlich f'(x). Während du gerannt bist, zum Beispiel 10 Meter in 10 Sekunden, bist du für 10 Sekunden(Zeit) 10 Meter(Wegstrecke) gelaufen, und die Geschwindigkeit (nennen wir sie v) berechnet sich v = 10 Meter/10 Sekunden. Aufgrund der Einheiten ist deine Geschwindigkeit 1 m/s (1 Meter pro Sekunde). Auf Deutsch gesagt, die Geschwindigkeit (also die Ableitung von f(x)) ist die *Änderung* der wie weit du gelaufen bist geteilt durch die Zeitdifferenz zu dem Zeitpunkt.

Wenn du nun die Geschwindigkeit hast, aber den Weg herausfinden willst, integrierst du nach der Zeit, um die Stammfunktion zu bekommen, quasi das Gegenteil vom Ableiten.

Schreib mir eine Rückantwort bei weiteren Fragen, hab es versucht zu erklären, kann aber sein, dass es noch unklar ist.

LG

Comments

Also wenn ich ein Koordinatensystem habe und dort auf der Y-Achse die Werte für den Weg (z.B. in km) eingetragen sind und auf der X-Achse die Zeitangabe ist (sagen wir mal in Stunden), dann beschreibe ich ja mit einer Funktion die Länge des zurückgelegten Weges im Bezug auf die Zeit. Also nach x Stunden habe ich y km zurückgelegt.

Und wenn ich jetzt die Ableitung bilde, dann würde das neue Koordinatensystem als Y-Achse die Werte für den Weg durch die Zeit (sprich die Geschwindigkeit km/h) zeigen und die X-Achse würde weiterhin die Werte für die Zeit wiedergeben.

Ok ich denke das habe ich jetzt verstanden, dann würde die Ableitung also zu jedem beliebigen Punkt auch die Geschwindigkeit bzw. die Steigung der Originalfunktion zeigen können.

Also gilt eigentlich immer:

Originalfunktionen: Y-Wert im Bezug auf X-Wert

Ableitungsfunktion: \( \frac{Y-Wert}{X-Wert} \)  im Bezug auf alten X-Wert

?

Und was wäre dann die Stammfunktion für eine Funktion, welche als Y-Wert nur den zurückgelegten Weg und als X-Wert nur die Zeit angibt? Eine Geschwindigkeit Weg/Zeit zu zerlegen ist ja noch einfach, aber wie ich den Weg an sich weiter zerlegen soll wüsste ich nicht.

---

Die ersten zwei Abschnitte stimmen, genau!

Kommen wir wieder auf das Koordinatensystem zurück für dieses Beispiel, das ich aufgeschrieben hab, aber sehen wir uns nur den Teil an, als du noch langsam gleichmäßig gegangen bist (vor dem schneller werden, das betrachten wir hier mal nicht). Im Weg-Zeit-Koordinatensystem, nennen wir's Koordinatensystem Nr.1, würdest du eine Gerade mit dem Lineal gerade einzeichnen, die schräg nach oben geht, da die Geschwindigkeit sich nicht verändert hat, aber du trotzdem einen Weg zurückgelegt hast. Deine Geschwindigkeit hat sich nicht verändert, aber sie war da (konstante Geschwindigkeit).

So, nun im Geschwindigkeits-Zeit-Koordinatensystem, nennen wir es Koordinatensystem Nr. 2 sähe es so aus, dass du eine Gerade parallel zur x-Achse, wenn wir ja nun den Fall betrachten, dass die Geschwindigkeit sich nicht ändert. Diese 'Geschwindigkeitsgerade' ist also im gegensatz zu der 'Weggerade' im Weg-Zeit-Koordinatensystem nicht mehr schräg, sondern gerade UND parallel zur x-Achse, da die Geschwindigkeit als konstant (unverändert angenommen ist).

So, jetzt betrachten wir den Fall, dass du dann schneller wurdest. Jetzt zeichnest du an die schräge Gerade in Koordinatensyst. Nr. 1 eine steilere Parabel nach oben an die schräge Gerade ein.

Im Koordinatensystem Nr. 2 sieht es so aus, dass du an die gerade parallele Gerade nun eine schräge Gerade anzeichnest(quasi wie im Koordinatensystem 1 für den Weg).

Ich kann gerade leider kein Bild hochladen, also hab ich es schriftlich erklärt, wie die jeweiligen Koordinatensystem aussehen müssen. Zeichne gern bei weiteren Fragen die Koordinatensysteme so, wie ich es beschrieben habe und ich sag dir, ob es stimmt.

---

Vielen Dank! Ich verstehe das auch mit der schriftlichen Erklärung bis jetzt sehr gut! :)

Also die Ableitungen habe ich schonmal verstanden.

Bei den Stammfunktionen bin ich noch etwas verwirrt. Vom Koordinatensystem Nr.2 auf das Koordinatensystem Nr.1 zu kommen macht für mich auch noch Sinn in der realen Welt, das ist ja nur das Gegenteil vom bisher Beschriebenen. Also von der Geschwindigkeit auf den zurückgelegten Weg schließen.

Aber was würde dann ein Koordinatensystem Nr. 0 (Also die 'Aufleitung' zum Koordinatensystem Nr.1) aussagen? Macht das überhaupt Sinn außerhalb der Mathematik?

---

Wenn s der Weg ist, v die Geschwindigkeit und t die Zeit, hast du für eine konstante Geschwindigkeit die Funktion s(t)=v0*t+s0, v0 ist deine konstante Geschwindigkeit, s0 der Startpunkt deines Weges (der Kann zum Beispiel bei 0 sein, dann ignorierst du s0 einfach). Abgeleitet ergibt das v(t)=v0, denn du leitest nach t ab, s0 ist eine Konstante und beim Ableiten verschwinden Konstanten immer. Dies für den Fall, als du deine Geschwindigkeit noch nicht verändert hast.

Umgekehrt, wenn wir v(t)=v0 haben, also die konstante Geschwindigkeit, und den Weg (Stammfunktion) herausfinden wollen, müssen wir nach der Zeit t integrieren. Machen wir's: s(t) = ∫ v(t) dt = ∫v0 dt = v0*t +s0 = s(t), die s0 weil wir beim Integral ohne Integrationsgrenze noch ne Konstante dranaddieren müssen. :)

Für den Fall als du im Beispiel schneller wurdest, würde die Funktion der Geschwindigkeit v(t)=a0*t+v0 dt (a0 ist deine konstante Beschleunigung (Die Veränderung der Geschwindigkeit nach der Zeit), v0 deine Anfangsgeschwindigkeit). Jetzt integrieren wir, um zur Stammfunktion (Wegfunktion) zu gelangen, nach der Zeit t:

s(t) = ∫ v(t) dt = ∫a0*t+v0 dt = 1/2 * a0 * t^2 + v0*t + s0 (s0 ist eine Konstante, hier der Startpunkt deines Weges)

---

Ok ich glaube ich habe es verstanden.

Vielen, vielen Dank! :)

---

gerne und danke für den Stern :)

Answer 2

Analogie zu
Strecke in m = s
Geschwindigkeit in m/s = s´= v
Beschleunigung in m/s^2 = s´´ = a

Wassermenge in Liter
Zu/Abfluß in Liter pro sec
Änderung in Zu/oder Abfluß in liter/ s^2

Zwischen den Funktionen kann beliebig auf- oder
abgelitten werden.