Vollständige Induktion teilbar 6

Question

ich bin gerade diverse vollständige Induktionen durchgegangen und habe gemerkt dass ich manchmal Probleme bei der "Teilbar" Variante habe. Es geht um folgende Aufgabe:

Beweise für alle n aus (natürliche Zahlen inkl. 0) N₀ : 6 teilbar n³ - n.     Alternative Schreibweise: 6 | n³ - n.

Induktionsanfang: Sei n=0:

0³ - 0 = 0 und 6*0 = 0 => Somit gilt die Induktion für n=0.

Induktionsvoraussetzung: Es existiert ein m Element der ganzen Zahlen: (6*m) = n³ - n

Induktionsschritt: Zu zeigen: n -> n+1

(n+1)³ - (n+1)                                     |Binomische Formel

= (n+1) (n+1) (n+1) - (n+1)                 |ausmultiplizieren

= n³ + 3n² + 3n + 1 - (n+1)                 |umstellen, sodass (n3 - n) am Anfang steht und Annahme einfügen

= n3 - n + 3n² + 3n                            |Annahme einfügen

=(6*m) + 3n² + 3n

Hier ist genau mein Problem, wie kann ich fortfahren ?

Eventuell So? = 6 * (m + 0,5n² + 0,5n)

Was kommt jetzt ?

Vielen Dank im Voraus :)

MfG Tossi

Comments

Es geht sogar ohne vollständige Induktion.

n^3-n=(n-1)*n*(n+1)

Drei aufeinander folgende natürliche Zahlen werden multipliziert.

Dabei ist mindestens eine gerade und eine ein Vielfaches von 3.

Das Produkt ist daher durch 6 teilbar.

:-)

Answer 1

3n²+3n kannst du schreiben als 3*n*(n+1).

Dieses Produkt ist garantiert durch 3 teilbar, und da genau eine der beiden aufeinanderfolgenden Zahlen n und n+1 gerade ist, ist dieses Produkt auch durch 2 teilbar.