Bestimmen sie die weiteren Nullstellen mit Raten- und Polynomdivision S-O-S

Question

Aufgabe: Raten- Polynomdivision

Problem/Ansatz: Durch das Homeschooling haben wir es doch alle schwer. Um uns zu untersützen helfen wir uns gegenseitig. Jetzt brauche ich eure Hilfe in Mathe. Falls sich jemand mit Raten- und Polynomdivision auskennt ist hier richtig. Ich danke euch jetzt schon für Lösungsansätze. Ich küss eure Augen:)

Die Funktion hat eine ganzzahlige Nullstelle. Raten Sie diese. Bestimmen sie die weiteren Nullstellen mit Polynomdivision.

folgende Funktionen:

a) f(x)= x³+x²-17x+15

b) f(x)= x³+4x²+x+4

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms müssen Teiler der Zahl "ohne \(x\)" sein.

$$\text{a)}\quad f(x)=x^3+x^2-17x+15$$Die Teiler von \(15\) sind \(\pm1,\pm3\,\pm5\,\pm15\). Die sind schnell durchgetestet und schon haben wir alle Nullstellen bei \(x=3\), \(x=1\) und \(x=-5\) gefunden.$$f(x)=(x-3)(x-1)(x+5)$$

$$\text{b)}\quad f(x)=x^3+4x^2+x+4$$Die Teiler von \(4\) sind \(\pm1,\pm2\,\pm4\). Hier haben wir nicht so viel Glück und finden nur eine ganzzahlige Nullstelle bei \(x=-4\). Das heißt, wir können den Term \((x+4)\) ausklammern:$$f(x)=x^3+4x^2+x+4=x^2(x+4)+(x+4)=(x^2+1)(x+4)$$Wegen \(x^2+1\ge1\) gibt es keine weitere reelle Nullstelle.

Comments

Vielen Dank! Mit so einer schnellen Antwort hätte ich nicht gerechnet. Kuss geht raus:)

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Ich habe aber 2 Augen...

Ein Kuss ist wie ein einzelner Single, der sich bei Paarship in 11 Minuten verliebt ;)

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Bestimmen sie die weiteren Nullstellen mit Polynomdivision.

Die Aufgabe lautet aber so

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Ja, aber "Raten" hat ja schon vollständig ausgereicht... Polynomdivision war da gar nicht nötig.

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Die Aufgabe muß immer so gelöst werden, wie es gefordert wird, sonst gibt es Punktabzug.

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Ich habe alle "Rate"-Kandidaten genannt und begründet, wie ich darauf gekommen bin. Das sollte eigentlich ausreichen.

Du kannst aber sicherheitshalber noch eine eigene Lösung mit Polynomdivision vorstellen.

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oswald hat das ja schon angedeutet

Answer 2

Raten Sie diese.

Genauer gesagt, bestimme sie indem du gezielt Zahlen für x einsetzt, ausrechnest und prüftst ob du 0 als Ergebnis bekommst. Hast du 0 als Ergebnis bekommen, dann ist die eingesetzte Zahl die Nullstelle.

a) f(x)= x³+x²-17x+15

Als Nullstellen kommen die Teiler von 15 in Frage, also 1, -1, 3, -3, 5, -5, 15 und -15.

Bestimmen sie die weiteren Nullstellen mit Polynomdivision.

Ein Video dazu findest du unter

     

Comments

Danke dir!! Das Video werde ich mir sofort anschauen:)

Answer 3

Bei a) fällt auf, dass die Summe der Koeffizienten Null ergibt.

1+1-17+15=0

Damit ist x=1 eine Nullstelle.

Zu b)

x³+4x²+x+4=x^2*(x+4)+1*(x+4)=(x^2+1)*(x+4)

Nun noch beide Klammern gleich Null setzen.

x=-4

:-)