Darstellungsmatrix in Jordan'scher Normalform

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Aufgabe:

φ: ℂ[t]≤d → ℂ[t]≤d

p ↦ p(t+1)

Dafür soll ich die Darstellungsmatrix in Jordan#scher Normalform bestimmen.


Problem/Ansatz:

Mein Problem besteht schon beim erstellen der Darstellungsmatrix bzw, der Bildungsvorschrift. Ich habe die Standardbasen gewählt (1, t, t2,.... td)

Jetzt wenn ich einsetze, kommt hier φ(1)=2, φ(t)=t+1, φ(t2)=t2+1, ....

oder

φ(1)=2, φ(t)=t+1, φ(t2)=(t+1)2

oder doch was ganz anderes?

Avatar von
📘 Siehe "Jordan" im Wiki

2 Antworten

0 Daumen

Die zweite Idee ist die richtige .

Allerdings  φ(1)=1

Avatar von 289 k 🚀

Für d ist ungerade

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Für d ist gerade

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Ich komm da nicht ganz auf die Darstellungsmatrix. Die Richtung müsste passen, jedoch weiß ich nicht wie ich die d-te Spalte darstelle. Nach meiner Beobachtung macht es einen Unterschied, ob d gerade oder ungerade ist.

Weiteres zu den Jordan-Blöcken wäre bei allen J(x,y) x=1 und die nebendiagonale ist immer unterschiedlich, also gibt es d-1 Jordanblöcke?

von
0 Daumen

Hallo,

wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist die gesuchte Basis \((p_0,p_1, \ldots p_d)\) mit:

$$p_0(t):=1 \text{ und sonst } p_i(t):=\frac{1}{i!} \Pi_{k=1}^i(t+1-k)$$

Dann gilt:

$$\phi(p_0)=p_0 \text{   und  }\phi(p_i)=p_i+p_{i-1}$$

Das heißt, \(p_0\) spannt den Eigenraum zum Eigenwert 1 auf und man erhält nur einen einzigen Jordanblock.

Musst Du nochmal nachrechnen!

Gruß

Avatar von 14 k

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