Fourierreihe zu Funktion sin(x)*cos(x)

Question

Aufgabe:

Hallo,

ich soll die Fourierreihe der 2pi-periodischen Funktion f:ℝ→ℝ x↦f(x)= sin(x) * cos(x) berechnen.

Wenn ich a₀ berechne kommt 0 raus.

a_n ist ebenfalls null, da es eine ungerade Funktion ist.

Für b_n habe ich:

b_n= \( \frac{1}{pi} \) * \( \int\limits_{0}^{\pi*2} \) sin(x)*cos(x)*sin(nx)*dx

Dann bekomm ich die Stammfunktion

b_n=\( \frac{1}{pi} \) * [\( \frac{sin((2-n)x)}{4(n-2)} \) - \( \frac{sin((2+n)x)}{4(n+2)} \)] in den Grenzen 0 bis 2π

Und ab diesem Punkt bin ich komplett verloren. Ich kenne die Lösung \( \frac{1}{2} \)sin(2x) bzw. \( \frac{1}{4} \) ie^-2ix - \( \frac{1}{4} \) ie^2ix, weiß aber nicht wie ich von der Stammfunktion auf die Lösung komme.

Vielleicht sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr, aber ich quäle mich schon seit Stunden damit und komme einfach nicht weiter.

Eventuell kann mir ja jemand hier einen Denkanstoß geben.

Besten Gruß und schönen Abend!

Answer 1

Du solltest zwischen \(n\in\mathbb N\setminus\lbrace2\rbrace\) und \(n=2\) unterscheiden.
$$\text{Für }n\ne2\text{ gilt }\int_0^{2\pi}\sin(x)\cos(x)\sin(nx)\,\mathrm dx=0$$$$\text{Für }n=2\text{ gilt }\int_0^{2\pi}\sin(x)\cos(x)\sin(2x)\,\mathrm dx=\frac x4-\frac1{16}\sin(4x)\bigg|_0^{2\pi}=\frac{\pi}2.$$ Damit ist \(b_2=\tfrac12\) und alle anderen \(b_n=0\). So kommt deine Lösung \(\frac12\sin(2x)\) zustande.