Ist Lambda in K ein Eigenwert von C, dann ist f(Lambda) ein Eigenwert von f(C)

Question

Aufgabe:

Sei $C \in K^{n \times n}$ und $f(X) \in K[X]$ ein Polynom. Zeigen Sie: Ist $\lambda \in K$ ein Eigenwert von $C$, dann ist $f(\lambda)$ ein Eigenwert von $f(C)$. Erhalten wir alle Eigenwerte von $f(C)$ auf diese Art?

Comments

Schnapp dir halt mal einen Eigenvektor von $C$ bezüglich $\lambda$. Was passiert wenn du den an $f(C)$ dran multiplizierst?

Außerdem kannst du ja mal eine 2x2 Matrix suchen die keine Eigenwerte hat, aber deren Quadrat Eigenwerte besitzt. Das sollte dann den zweiten Teil der Frage beantworten.