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Aufgabe:

1 In einem Glücksspiel haben Sie eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/100 . Sie spielen dieses Spiel
ein Jahr lang jede Woche, also 52 mal.

Verwenden Sie eine geeignete Poisson-Verteilung, um die Verteilung der gewonnen Spiele anzunäheren. Bestimmen Sie den genauen Wert der Poisson-Approximation zu der Wahr- scheinlichkeit, mehr als ein Spiel zu gewinnen. Hierfür dürfen Sie einen Taschenrechner verwenden.


Problem/Ansatz:

leider konnte ich das nur mit der binomialverteilung rechnen, ich weiss leider nicht wie ich es mit der poisson-Verteilung machen soll. Würde mich über einen Lösungsweg mit einer kurzen Erklärung freuen. Dankeschön

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der Erwartungswert für die Anzahl der Gewinne pro Jahr beträgt \(\mu=\frac{1}{100}\cdot52=\frac{13}{25}\).

Die Wahrscheinlichkeit, in einem Jahr genau \(k\)-mal zu gewinnen, ist daher nach Poisson:$$p(k)=\frac{\mu^k}{k!}\cdot e^{-\mu}=\frac{1}{k!}\left(\frac{13}{25}\right)^k\cdot e^{-\frac{13}{25}}$$

Die Wahrscheinlichkeit, mehr als ein Spiel zu gewinnen, ist gleich der Wahrscheinlichkeit mindestens zwei Spiele zu gewinnen:

$$p(>1)=p(\ge2)=1-p(0)-p(1)$$$$\phantom{p(>1)}=1-\frac{1}{0!}\left(\frac{13}{25}\right)^0\cdot e^{-\frac{13}{25}}-\frac{1}{1!}\left(\frac{13}{25}\right)^1\cdot e^{-\frac{13}{25}}=1-e^{-\frac{13}{25}}-\frac{13}{25}\cdot e^{-\frac{13}{25}}$$$$\phantom{p(>1)}=1-e^{-\frac{13}{25}}\left(1+\frac{13}{25}\right)=1-e^{-\frac{13}{25}}\cdot\frac{38}{25}\approx0,096329\approx9,6329\%$$

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