Sind die mengen abgesclossen

Question

Aufgabe:

1. (a) \( \quad \) Sind die folgenden Mengen im \( \mathbb{R}^{n} \) offen, abgeschlossen oder weder das eine noch das andere? Begründen Sie Ihre Antwort.
i. \( M_{1}=\left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1} \neq 0\right. \) und \( \left.x_{2} \neq 0\right\} \),
ii. \( M_{2}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid 0<\|x\|_{2} \leq 1\right\} \),
iii. \( M_{3}=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\} \).
Hinweis: Beachten Sie die Methode aus Beispiel 5.6.
(b) Zwei der Mengen aus Teil
(a) sind nicht abgeschlossen. Bestimmen Sie jeweils den Abschluss.

Answer 1

Hallo,

(i)

\(M_1\) ist \(\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}\). Hier ist die Abgeschlossenheits-Definition mit Hilfe von Folgen extrem hilfreich:

Die Teilmenge \(M_1\subset \mathbb{R}^2\) heißt folgenabgeschlossen, wenn der Grenzwert \(a\in \mathbb{R}^2\) jeder konvergenten Folge \((a_n)_n\subset M_1\) in \(M_1\) liegt.

So kann man btw. auch leicht zeigen, dass \(\mathbb{Q}\) nicht (folgen-)abgeschlossen, erinnere dich an die Folge, die gegen \(e\) konvergiert ;)

Dir wird bestimmt eine Folge einfallen, die in \(M_1\) lebt, deren Grenzwert aber nicht.

(ii)

Zerlege die Menge wie folgt: $$M_2=\{x\in \mathbb{R}^n : 0<||x||_2\}\cap \{x\in \mathbb{R}^n : ||x||_2\leq 1\}$$ Setze nun \(f : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}, \, x\mapsto ||x||_2\); diese Abbildung ist stetig. Arbeite nun mit der topologischen Charakterisierung: "Urbilder abgeschlossener/offener Mengen sind abgeschlossen/offen" für die Teilmengen separat. Eine davon ist offen, eine davon ist abgeschlossen - was bedeutet das für den Durchschnitt?

(iii) 

Wie in (ii), setze wieder \(f: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}, \,x\mapsto x_1^2+x_2^2+x_3^2\), dann ist \(M_3=f^{-1}(1)\).