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Satz 3.7 (Satz von Heine-Borel). Eine Menge \( K \subset \mathbb{R}^{n} \) ist kompakt genau dann, wenn sie abgeschlossen
und beschränkt ist.

Beweis. Sei \( K \subset \mathbb{R}^{n} \) kompakt. Nach Lemma \( 3.5 \) ist \( K \subset \mathbb{R}^{n} \) abgeschlossen. Da \( K \subset \bigcup_{k \in \mathbb{N}^{*}} B_{k}(0) \) eine offene Überdeckung von \( K \) bildet, existiert ein \( k_{0} \in \mathbb{N} \) mit \( K \subset B_{k_{0}}(0) \). Also ist \( K \) auch beschränkt.


Könnte mir jemand in Worten erklären, warum genau K beschränkt ist und wieso ich diese Annahmen stellen kann ?

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warum genau K beschränkt ist

K ist beschränkt, weil eine Kugel existiert, die Obermenge von K ist.

wieso ich diese Annahmen stellen kann ?

Dass K beschränkt ist, ist keine Annahme, sondern eine Schlussfolgerung aus o.g. Tatsache.

Avatar von 105 k 🚀

Mit der Annahme meine ich, woher ich weiss, dass diese Kugel als Obermenge existiert?

Die Kugel existiert, weil \( \bigcup_{k \in \mathbb{N}^{*}} B_{k}(0) \) eine offene Überdeckung von \( K \) bildet.

und das ist wiederum so, weil K nach Annahme kompakt ist oder?

Ja.

Aber um ehrlich zu sein weiß ich nicht genau, was du mit kompakt meinst. Ich vermute "Jede offene Überdeckung enthält eine endliche Teilüberdeckung." Außerdem weiß ich nicht, was \(\mathbb{N}^*\) ist. Da habe ich noch nicht ein mal eine Vermutung. Wenn du mir sagst, was \(\mathbb{N}^*\) ist, dann finde ich aber bestimmt heraus warum K beschränkt ist.

ja genau das meine ich mit kompakt und mit N* sind der positiven ganzen Zahlen ohne 0 gemeint

Dann stellt sich doch eigentlich nur noch die Frage, warum \( \bigcup_{k \in \mathbb{N}^{*}} B_{k}(0) \) tatsächlich eine offene Überdeckung von K ist, oder?

\( \bigcup_{k \in \mathbb{N}^{*}} B_{k}(0) \) ist eine offene Überdeckung von K, weil die \(B_{k}(0)\) offen sind und \( \bigcup_{k \in \mathbb{N}^{*}} B_{k}(0) = \mathbb{R}^n\) ist.

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