(an)n∈ℕ ist gegen a∈X konvergente Folge. Zeigen, dass die Menge A={an Ι n∈N} nicht kompakt ist.

Question

Aufgabe:

Seien X ein metrischer Raum und (a_{n})_{n∈ℕ} eine gegen a∈X konvergente Folge in X. Es gelte a_{n}≠a_{m }für n≠m. Zeigen Sie, dass die Menge A={a_{n }Ι n∈N} nicht kompakt ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich hierfür die Menge auf Abgeschlossenheit und Kompaktheit untersuchen muss. Aber wie gehe ich da ran?

Answer 1

Eine Menge ist kompakt, wenn zu jeder Überdeckung bereits eine endliche Teilmenge genügt um die Menge zu überdecken. Wenn man nun ausnutzt, dass es zu jedem Folgeglied eine Umgebung gibt, die nur dieses Folgeglied enthält, dann können bei unendlich vielen Folgegliedern niemals endlich viele dieser Mengen genügen um die ganze Folge zu überdecken. Reicht das?

Comments

Reicht das?

Nein, weil es falsch ist.

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Du hast eventuell Recht. Zwar kann ich zu jedem Folgeglied eine Umgebung finden die ein anderes nicht enthält (metrische Räume sind hausdorff'sch), allerdings weiß ich nicht ob der Schnitt aller dieser Umgebungen wieder eine Umgebung ist. Allerdings frage ich mich, ob in diesem Fall der Grenzwert nicht diesem Folgeglied entspräche?

Wähle zu jedem \(a_n\) eine Umgebung \(B_{x_i}(a_n)\) mit \(x_i = \frac{d(a_n, a)}{2}\). Diese bilden eine Überdeckung. Dann gilt für eine endliche Vereinigung \(\mathrm{inf}\{d(a, y)|y \in \cup_{j \in J} B_{x_j}(a_j)\} = \mathrm{min}\{x_j\} =: x_J \) mit endlicher Indexmenge J. Das heißt für jede endliche Vereinigung liegen Folgeglieder, für die gilt: \(d(a, a_n) < x_J\) nicht mehr in der endlichen Veinigung, womit es keine endliche Teilüberdeckung gibt.

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a_1 = 0 ,   a_n = 1/n  für n>1

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$$ B_x(a) := \{d(y, a) < x | y \in X\}$$

Variante 1:

$$ U(a_n) := B_{\frac{1}{n(n+1)}}(\frac{1}{n}) \Rightarrow \forall m \in \mathbb{N}, m \neq n: a_m \notin U(a_n) $$

Sag mir doch bitte, wie ich daraus eine endliche Überdeckung konstruiere?

Variante 2:

$$ U(a_n) := B_{\frac{1}{2n}}(\frac{1}{n}) \Rightarrow \forall m \geq 2n: a_m \notin U(a_n) $$

Damit gilt für jede endliche Indexmenge I: \( \forall m \geq 2 \cdot \mathrm{max}(I): a_m \notin \cup_{i \in I} U(a_i) \)