Tangentengleichung bestätigen

Question

Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=e^x.

(1) Zeigen Sie, dass die Tangente t an den Graphen der Funktion f im Punkt (a | e^a) durch die Gleichung t(x)= e^a · x + (1 − a) · e^a  beschrieben werden kann.

(2) Für welches a verläuft die Tangente durch den Ursprung?

Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, da ich das Thema Tangenten nach längerer Zeit wiederhole und mich die vielen Buchstaben verwirren.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Tangente \(t(x)\) an eine Funktion \(f(x)\) an einer Stelle \(x_0\) hat die allgemeine Form:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$

Hier ist \(f(x)=e^x\) und daher \(f'(x)=e^x\) und \(x_0=a\). Das setzen wir ein:$$t(x)=f(a)+f'(a)\cdot(x-a)=e^a+e^a\cdot(x-a)=e^a+xe^a-ae^a$$$$t(x)=e^a\cdot x+e^a(1-a)$$

Wenn die Tangente durch den Ursprung geht, gilt \(t(0)=0\). Daraus bestimmen wir das gesuchte \(a\):

$$\left.t(0)\stackrel!=0\quad\right|\text{\(t(x)\) einsetzen}$$$$\left.e^a\cdot0+e^a\cdot(1-a)=0\quad\right|\text{links ausrechnen}$$$$\left.e^a\cdot(1-a)=0\quad\right|\colon e^a$$$$\left.1-a=0\quad\right|+a$$$$a=1$$Für \(a=1\) verläuft die Tangente durch den Ursprung.

~plot~ e^x ; x*e ; {1|e} ; {0|0} ; [[-1|2|0|5]] ~plot~