Wie untersucht man eine mehrdimensionale Funktion auf stetige Fortsetzung?

Question

Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe.

"Untersuchen Sie ob sich folgende Funktion auf ganz IR² stetig fortsetzen lässt."

f(x,y) = (x²-y)/(x²+y)

Mein Vorgehen:

Die "Problemstellen" liegen im Nenner. Jetzt gibt es aber nicht nur eine Stelle, die es zu Untersuchen gilt, sondern sie liegen auf einer an der X-Achse gespiegelte Parabel 2.Ordnung.

Wie kann ich vorgehen? Am Besten einen Ansatz über Folgen.

Answer 1

Z.B. gilt \(f\left(\tfrac1n,\tfrac1{n^2}\right)=0\)  und \(f\left(\tfrac1n,\tfrac1n\right)=\frac{1-n}{1+n}\)  für alle \(n\in\mathbb N\).
Die Grenzwerte für \(n\to\infty\) existieren, sind aber verschieden. Deswegen ist eine stetige Fortsetzung auf ganz \(\mathbb R^2\) nicht möglich. Damit sollte die Frage m.E. hinreichend beantwortet sein, auch wenn der Punkt \((0\vert0)\) nicht die einzige kritische Stelle ist.

Comments

Mir stellt sich nur die Frage, warum man dieses Gegenbeispiel auf alle Punkte übertragen kann.

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Lt. Fragestellung ist das nicht notwendig.