Aloha :)
Wahrscheinlichkeit für "Kopf":\(\quad p\)
Wahrscheinlichkeit für "Zahl":\(\quad (1-p)\)
zu 1) Der Wahrscheinlichkeitsraum ist erstmal nur die Menge der möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments. Bei 3-maligem Wurf einer Münze gibt es 8 mögliche Ergebnisse:
$$\Omega=\{KKK, KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK, ZZZ\}$$
zu 2) Hier sollen wir die Ereignisse raussuchen, bei denen (A) maximal eine Zahl geworfen wurde, d.h. keine Zahl oder genau eine Zahl:$$A=\{KKK,KKZ,KZK,ZKK\}$$und bei denen (B) alle Würfe gleich sind:$$B=\{KKK,ZZZ\}$$
zu 3) Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten.
$$P(A)=P("KKK")+P("KKZ")+P("KZK")+P("ZKK")$$$$\phantom{P(A)}=p^3+p^2(1-p)+p(1-p)p+(1-p)p^2$$$$\phantom{P(A)}=p^3+3\cdot p^2(1-p)$$$$P(B)=P("KKK")+P("ZZZ")=p^3+(1-p)^3$$
Die Schnittmenge \(A\cap B\) enthält nur das Element \("KKK"\), daher ist:$$P(A\cap B)=P("KKK")=p^3$$
zu 3) Für welche Werte von \(p\) sind \(A\) und \(B\) unabhängige Ereignisse?
Bei Unabhängigkeit muss gelten:$$\left.P(A\cap B)\stackrel!=P(A)\cdot P(B)\quad\right|\text{WSK einsetzen}$$$$\left.p^3=\left(p^3+3p^2(1-p)\right)\cdot\left(p^3+(1-p)^3\right)\quad\right.$$Das könnte man jetzt ausrechnen. Allerdings ist das nur Term-Gymnastik.
Wir erwarten Unabhängigkeit, wenn nur Kopf kommen kann \(p=1\), wenn nur Zahl kommen kann \(p=0\) oder wenn Kopf und Zahl gleichberechtigt kommen \(p=\frac{1}{2}\).
Wir prüfen das nach, indem wir uns die linke Seite und die rechte Seite der Gleichung jeweils als Graph zeichnen lassen und die Schnittpunkte betrachten:
~plot~ x^3 ; (x^3+3x^2*(1-x))*(x^3+(1-x)^3) ; [[0|1,1|0|1,1]] ~plot~
