Zeigen Sie: f ist genau dann eine strikte Kontraktion, wenn...

Question

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Es sei \( f:[a, b] \rightarrow[a, b] \) eine stetig differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: \( f \) ist genau dann eine strikte Kontraktion, wenn \( \left|f^{\prime}(x)\right|<1 \) für alle \( x \in[a, b] \) gilt.

Comments

Benutze den Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Gruß Mathhilf

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Vielen Dank für den Tipp, allerdings verstehe ich dennoch nicht wie ich damit zeige das das kleiner 1 ist.

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Der Tipp ist für die umgekehrte Richtung: Wenn die Ableitung im Betrag kleiner als 1 ist, dann liegt Kontraktion vor.

Wenn Du von der Kontraktionseigenschaft auf die Ableitung schließen willst, dann verwende die Definition von f' als Grenzwert des Differenzenquotienten.

Gruß Mathhilf