Aloha :)
\(F(a)\) bekommst du, indem du \(\mathbf A\cdot\vec a\) berechnest:$$\vec F(a)=\left(\begin{array}{rrrr}3 & 1 & 1 & -1\\1 & 3 & -1 & 1\\1 & -1 & 3 & 1\\-1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\\4\end{pmatrix}$$
\(\vec b\) ist Teilmenge des Kerns, wenn \(\mathbf A\cdot\vec b=\vec 0\) ist. Wir prüfen das nach:$$\vec F(b)=\left(\begin{array}{rrrr}3 & 1 & 1 & -1\\1 & 3 & -1 & 1\\1 & -1 & 3 & 1\\-1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}\quad\checkmark$$
Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Da bei jeder linearen Abbildung die Null auf die Null abgebildet wird, hier also auch \(\vec F(\vec 0)=\vec 0\) gilt, und zusätzlich \(\vec F(\vec b)=\vec 0\) ist, wird der Nullvektor als Ziel aber 2-mal getroffen. Die Abbildung ist also nicht injektiv.
