Konditionszahlen bei Cholesky-Zerlegung

Question

Aufgabe:

könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Konditionszahlen bei Cholesky-Zerlegung.

a) Beweisen Sie, dass für eine reguläre Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ in der Spektralnorm gilt
$$\left\|A^{\top}\right\|_{2}=\|A\|_{2}$$
Hinweis: Überlegen Sie sich, dass $A^{\top} A$ und $A A^{\top}$ zueinander ähnliche Matrizen sind.

b) Sei $A=L L^{\top}$ die Cholesky-Zerlegung einer symmetrischen, positiv definiten Matrix. Zeigen Sie die Abschätzung
$$\kappa_{2}(A) \leq \kappa_{2}(L)^{2}$$
für die Konditionszahl bezüglich der Spektralnorm.

Comments

Hallo,

schreib mal die Definition konkret auf: $A^TA$ und $AA^T$ sind ähnlich genau dann wenn ...

Wenn Du dann noch daran denkst, dass A regulär ist ...

Gruß Mathhilf

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Könntest du mir bitte mehr helfen?

:)

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Du wirst doch wohl die Definition aus Deinem Skript heraussuchen können und hierhin schreiben

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Ist das was du wolltest?

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Zunächst wird doch die Ähnlichkeit von A^T A und AA^T behauptet, oder ist Dir das klar?

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Ist klar jetzt :)

Könntest du mir bitte bei b) helfen ? :)

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Reicht ewnn ich bei a) sage? :
AT hat dieselben Eigenwerte wie A, weil det(AT - λE) = det(AT - λET) = det((A - λE)T) = det(A - λE). Wenn A und AT dieselben Eigenwerte haben, dann haben auch A*AT und AT*A dieselben Eigenwerte und der größte davon ist die Spektralnorm.

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Warum diese Frage 2 mal? Vor allem, wenn sie schon beantwortet ist

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Es tut mir leid das war natürlich ohne Absicht aber ich konnte mein Kommentar nicht wieder löschen

Answer 1

Hallo,

ich schreibe mal die Lösung für b) in die Antwort rein:

Es gilt:
$$\|A\|_2=\|LL^T\|_2\leq \|L\|_2\|L^T\|_2=\|L\|_2^2$$

Ebenso:

$$\|A^{-1}\|_2=\|(L^T)^{-1}L^{-1}\|_2=\|(L^{-1})^{T}L^{-1}\|_2\leq\|L^{-1}\|_2^2$$

Damit gilt für die Konditionszahl von A

$$\kappa (A)=\|A\|_2\|A^{-1}\|_2\leq \|L\|_2^2\|L^{-1}\|_22=\kappa(L)^2$$

Gruß Mathhilf

Comments

Alles klar Dankeschön! :)

Reicht ewnn ich bei a) sage? :
A^T hat dieselben Eigenwerte wie A, weil det(A^T - λE) = det(A^T - λE^T) = det((A - λE)^T) = det(A - λE). Wenn A und A^T dieselben Eigenwerte haben, dann haben auch A*A^T und A^T*A dieselben Eigenwerte und der größte davon ist die Spektralnorm.

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Ob der Schluss auf das Produkt AA^T richtig ist, weiß ich nicht. Aber dafür ist doch der Hinweis da: Weil die beiden Matrizenprodukte ähnlich sind, haben sie dieselben Eigenwerte.

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Hast du andere Lösung zu a) ?

:)

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Also Du solltest jetzt doch mal alles durchlesen und gedanklich verarbeiten.

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A^T hat dieselben Eigenwerte wie A, weil det(A^T - λE) = det(A^T - λE^T) = det((A - λE)^T) = det(A - λE). Da A und A^T dieselben Eigenwerte haben und A*A^T und A^T*A ähnlich sind, folgt daraus dass A*A^T und A^T*A dieselben Eigenwerte haben und der größte davon ist die Spektralnorm.

Ist das so besser oder immer noch nicht so gut?

:)