Es Sei det: Rnxn nach R die Determinante. Zeigen Sie

Question

Es sei det: R^n×n → R die Determinante. Da sie ein Polynom ist, ist klar, dass sie total differenzierbar ist. Zeigen Sie:

det`(a1, . . . , an)(h1, . . . , hn) =  ∑(j=1 bis n)  det(a₁, . . . , a_j−1, h_j , a_j+1, . . . , a_n)

Comments

Hallo,

verwende die Multilinearität der Determinante und mache dir klar, dass:$$\det(a_1+h_1,...,a_n+h_n)-\det(a_1,...,a_n)-\sum \limits_{j=1}^{n}\det(a_1,...,a_{j-1},h_j,a_{j+1},...,a_n)=\det(h_1,...,h_n)$$ Es gilt:$$\lim\limits_{(h_1,...,h_n)\to (0,...,0)}\frac{\left|\left|\det(a_1+h_1,...,a_n+h_n)-\det(a_1,...,a_n)-\sum \limits_{j=1}^{k}\det(a_1,...,a_{j-1},h_j,a_{j+1},...,a_n)\right|\right|}{||(h_1,...,h_n)||}\\=\lim\limits_{(h_1,...,h_n)\to (0,...,0)}\frac{||\det(h_1,...,h_n)||}{||(h_1,..,h_n)||}=0$$

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@ r_c

Hallo,

verstehe ich Deine Lösung so, dass der Restterm (also nach Abzug des Terms 0ter und 1ter Ordnung die Determinante det(h_1, .., h_n) ist? Das halte ich für falsch.

Wenn man zum Beispiel den Fall betrachtet, dass die Vektoren a_ i und h_i zusammen eine Diagonalmatrix bilden, dann wäre die Ausgangsdeterminante

$$(a_{11}+h_{11})(a_{22}+h_{22})(a_{33}+h_{33})$$Offenbar bleiben hier auch Produkte wie etwa \(a_{11}h_{22}h_{33}\) übrig.

Oder?

Gruß Mathhilf

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Hast recht, hier ist was faul. Hast du eine Idee?

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Habt ihr noch Tipps bei der Aufgabe? Ich komme da echt nicht voran

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Ich fürchte, es muss so etwas sein wie

$$\det(a_1+h_1, \ldots, a_n+h_n)=\sum_{t \in \{0,1\}^n} \det( \ldots, t_ia_i+(1-t_i)h_i,\ldots)$$

Also eine Summe über alle Determinanten, wobei in den Spalten a_i oder h_i steht, und zwar in allen Kombinationen.

Dann liefern die Summanden mit genau einem h_i die Ableitung. Der Summand ohne h_i. ist der Term mit der Ordnung 0. Alle anderen Summanden bilden das Restglied und sind mindestens bilinear gehen also nach Division durch die Norm gegen 0.

Gruß Mathhilf