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Es sei die rekursive Zahlenfolge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gegeben durch
$$ x_{1}=\frac{3}{2}, \quad x_{n+1}=\frac{x_{n}}{2}+\frac{1}{x_{n}} \quad \text { für } n=2,3, \ldots $$
Zeigen Sie:
(a) \( x_{n} \geq \sqrt{2} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) Hinweis: Betrachten Sie dazu den Ausdruck \( x_{n+1}^{2}-2 . \)
(b) Zeigen Sie, dass die Folge monoton fallend ist und gegen ein \( x \in \mathbb{R} \) konvergiert.
(c) Bestimmen Sie \( x \in \mathbb{R} \) und folgern Sie, dass \( \mathbb{Q} \) nicht vollständig ist.

Hallo, kennt villeicht jemand die Lösüngen?

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Aloha :)$$x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}\quad;\quad x_1=\frac{3}{2}$$

zu a) Beschränktheit:

Wegen \(x_1=\frac{3}{2}\ge\sqrt2\) ist die Behauptung \(x_n\ge\sqrt2\) für \(n=1\) erfüllt. Weiter gilt:$$x^2_{n+1}-2=\left(\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}\right)^2-2=\left(\frac{x_n^2+2}{2x_n}\right)^2-2=\frac{x_n^4+4x_n^2+4}{4x_n^2}-2$$$$\phantom{x^2_{n+1}-2}=\frac{x_n^4+4x_n^2+4-8x_n^2}{4x_n^2}=\frac{x_n^4-4x_n^2+4}{4x_n^2}=\frac{(x_n^2-2)^2}{4x_n^2}=\left(\frac{x_n^2-2}{2x_n}\right)^2\ge0$$Also ist \(x^2_{n+1}\ge2\) bzw. \(x_{n+1}\ge\sqrt2\). Daher gilt für alle \(n\in\mathbb N\), dass \(x_n\ge\sqrt2\).

zu b) Monotonie:

Wir betrachten$$x_{n+1}-x_n=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}-x_n=\frac{1}{x_n}-\frac{x_n}{2}=\frac{2-x_n^2}{2x_n}\le0\implies\text{monoton fallend}$$Nach a) ist \(x_n\ge\sqrt2\) bzw. \(x_n^2\ge2\) bzw. \(2-x_n^2\le0\). Der Zähler des Bruchs von oben ist also nicht-positiv und der Nenner ist positiv. Daher ist \(x_{n+1}\le x_n\).

Jede beschränkte monotone Folge konvergiert, daher auch unsere Folge \((x_n)\).

zu c) Grenzwert bestimmen:

$$x=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}\implies\frac{x}{2}=\frac{1}{x}\implies x^2=2\implies x=\sqrt2$$Die negative Lösung kommt als Grenzwert nicht in Betracht, da nach \(a\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt \(x_n\ge\sqrt2\).

Wir haben hier mit \((x_n)\) eine Folge von rationalen Zahlen, die nicht gegen eine rationale Zahl konvergiert. Daher ist \(\mathbb Q\) nicht vollständig.

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Vielen Dankkkk)))))))

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