Finden Sie die Darstellungsmatrix von T bezüglich der Basis

Question

Aufgabe:

Die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) bezüglich der üblichen Basis für \( \mathbb{R}^{3} \) sei

$$ A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right) $$
Finden Sie die Darstellungsmatrix von \( T \) bezüglich der Basis
$$ \left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)\right\} $$
für \( \mathbb{R}^{3} \).
[Hinweis: Mit Hilfe der Matrix \( A \) können Sie eine Formel für \( T\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \) finden.]

Answer 1

Aloha :)

Die Matrix \(\mathbf A\) erwartet Eingangsgrößen bezüglich der Standardbasis und liefert Ausgangsgrößen bezüglich der Standardbasis. Schreiben wir Ein- und Ausgangsbasis an die Matrix, heißt das:\({_S}\mathbf A_S=\mathbf A\).

Haben wir nun Eingangsgrößen bezüglich der Basis \(B\) vorliegen, müssen wir deren Komponenten zuerst in die Standardbasis \(S\) umrechnen, bevor wir die Matrix \({_S}\mathbf A_S\) darauf wirken lassen. Anschließend müssen wir die Ausgangsgrößen der Matrix von der Standardbasis \(S\) wieder in die Basis \(B\) transformieren. Formal heißt das:$${_B}\mathbf A_B={_B}\mathbf{id}_S\cdot{_S}\mathbf A_S\cdot{_S}\mathbf{id}_B$$Da die Koordinaten der Vektoren der Basis \(B\) bezüglich der Standardbasis \(S\) angegeben sind, kennen wir sofort die Transformationsmatrix von \(B\) nach \(S\)$${_S}\mathbf{id}_B=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1\\0 & 1 & -1\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}$$In die umgekehrte Richtung \(S\to B\) geht es mit der inversen Matrix.

$${_B}\mathbf A_B=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1\\0 & 1 & -1\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -2 & 1\\0 & 1 & -1\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 0 & 2\\0 & -1 & 0\\-2 & 0 & -2\end{pmatrix}$$