Darstellungsmatrix bezüglich der Basis

Question

Aufgabe:

Sei die Matrix

A = \( \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

gegeben. Berechnen Sie die darstellende Matric von ρ_A bezüglich der Basis

B = (v_{1 =} \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \) ,v_{2 =} \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \),v_{2 =} \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \))

von R³


Problem/Ansatz:

Ich wüsste nicht genau, wie ich hier vorgehen soll.

Ich würde A * B multiplizieren

dies ergibt dann

\( \begin{pmatrix} -2 & 3  & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)

was müsste man nun als nächstes tun?

Answer 1

Aloha :)

Die Komponenten der Matrix \(A\) und der Vektoren der Basis \(B\) sind bezüglich der kanonischen Standardbasis \(S\) angegeben. Deher wissen wir, wie die Transformationsmatrix von der Basis \(B\) in die Standardbasis \(S\) aussieht:$${_S}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\-1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)$$Damit können wir die Matrix \(A={_S}A_S\) bezüglich der Basis \(B\) formulieren:$${_BA_B}={_B\mathbf{id}_S}\cdot{_SA_S}\cdot{_S\mathbf{id}_B}={\left(_S\mathbf{id}_B\right)^{-1}}\cdot{_SA_S}\cdot{_S\mathbf{id}_B}=\left(\begin{array}{rrr}-3 & 2 & 0\\-2 & 2 & -1\\1 & -1 & 1\end{array}\right)$$

Von rechts nach links werden die Eingangsvektoren von der Basis \(B\) in die Basis \(S\) transformiert. Auf die transformierten Vektoren wirkt dann die Abbildung \(A\). Die Ergebnisvektoren werden dann wieder von der Basis \(S\) in die Basis \(B\) transformiert.