Zeigen Sie, dass α höchstens d Nullstellen über K besitzt.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und α ∈ K[X] ein Polynom vom Grad d ≥ 0. Zeigen Sie, dass α höchstens
d Nullstellen über K besitzt. Geben Sie über einem Körper Ihrer Wahl ein Polyom α ∈ K[X]
vom Grad d ≥ 1 an, das keine Nullstellen über K besitzt.

Answer 1

Zeigen Sie, dass α höchstens d Nullstellen über K besitzt.

Ist k eine Nullstelle von α, dann kann man α mittels Polynomdivision darstellen als

          α = β(X-k)

mit β ∈ K[X] und Grad β = d-1.

Geben Sie über einem Körper Ihrer Wahl ein Polyom α ∈ K[X] vom Grad d ≥ 1 an, das keine Nullstellen über K besitzt.

Müsstest du eigentlich noch aus der Schule kennen als das erste mal quadratische Gleichungen besprochen wurden.