Aufgaben zur Zahlentheorie, zu vp(n):=max{k∈ℕ: p^k teilt n}

Question

Aufgabe:

Voraussetzungen:

p∈ℙ positiv, n,m∈ℤ, n,m≠0

v_p(n):=max{k∈ℕ: p^k teilt n}

Behauptung:

1. v_p(nm) = v_p(n)+v_p(m)

2. Gilt zusätzlich m+n≠0, so gilt:

v_p(n+m) ≥ min(v_p(n), v_p(m)).

3. Für n,m∈ℕ gilt:

ggT(n,m)= \( \prod_{p∈ℙ}^{\infty}{} \) p^{min(vp(n),vp(m))} und

kgV(n,m)= \( \prod_{p∈ℙ}^{\infty}{} \) p^{max(vp(n),vp(m))}

Problem/Ansatz:

Bei 1. habe ich zuerst Versucht einmal v_p(nm) ≤ v_p(n)+v_p(m) und einmal v_p(nm) ≥ v_p(n)+v_p(m) zu zeigen, was ich aber leider nicht hinbekommen habe.

Bei den anderen habe ich noch gar keine Ideen.

:)