Bestimmen Sie die Matrix { }B fB (Polynome)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist der Vektorraum Pol $_{2} \mathbb{R}$ mit der Basis $B: X+1, X^{2}+1, X^{2}+X$ sowie die Abbildung $f:$ Pol $_{2} \mathbb{R} \rightarrow \operatorname{Pol}_{2} \mathbb{R}: p \mapsto f(p)$ mit $(f(p))(X)=p^{\prime}(X) X+p^{\prime \prime}(X) X^{2}$.

Bestimmen Sie die Matrizen ${ }_{B} f_{B}$

Ich hänge gerade fest.

1 Spalte der Matrix: f(x+1)= (x+1)´x+(x+1)´´x² = 1*x+0*x² = x

jetzt ist wieder bzgl B: x= ?*(x+1)+?(x²+1)+?(x²+x)

Bei diesem Schritt komme ich nicht weiter

Und bei den anderen auch nicht:

2.spalte: 4x²=?*(x+1)+?(x2+1)+?(x2+x)

3.Spalte: 4x²+x=?*(x+1)+?(x2+1)+?(x2+x)

Mach ich was falsch?

Comments

Ich würde eigentlich sagen, dass das nicht möglich ist?. Aber das wäre ja dann eine komische Aufgabe.

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(b) Bestimmen Sie die Matrizen ${ }_{B} f_{B},\left(B f_{B}\right)^{2},{ }_{B}(f \circ f)_{B}$.
(c) Geben Sie eine Basis für $\operatorname{Kern}(f)$ an und berechnen Sie $\operatorname{dim} \operatorname{Bild}(f)$. Ist $f$ injektiv/surjektiv/bijektiv?
(d) Es ist $g:$ Pol $_{2} \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}: g \mapsto g(p)$ mit $(g(p))(X)=(p(1), p(-1))^{\top}$. Bestimmen Sie
die Matrix $_{E}(g \circ f)_{B}$, wobei $E$ die Standardbasis von $\mathbb{R}^{2}$ ist.

Das sind die folgenden Aufgaben, die auf der Matrix aufbauen. schonmal vorab

Answer 1

Aloha :)

Wir bestimmen die Bilder für die Vektoren der Standardbasis $S=\left<1,x,x^2\right>$:$$p(x)=1\implies f(p)=0\cdot x+0\cdot x^2=0$$$$p(x)=x\implies f(p)=1\cdot x+0\cdot x^2=x$$$$p(x)=x^2\implies f(p)=2x\cdot x+2\cdot x^2=4x^2$$Damit lautet die Abbildungsmatrix:$${_S}f_S=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 4\end{pmatrix}$$

Da wir wissen, wie die Basis $B$ in der Standardbasis $S$ aussieht, kennen wir die Transformationsmatrizen:$${_S}\operatorname{id}_B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad;\quad {_B}\operatorname{id}_S=\left({_S}\operatorname{id}_B\right)^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1\\1 & -1 & 1\\-1 & 1 & 1\end{array}\right)$$

Damit können wir die gesuchte Abbildungsmatrix angeben:$${_B}f_B={_B}\operatorname{id}_S\cdot{_S}f_S\cdot{_S}\operatorname{id}_B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rrr}1 & -4 & -3\\-1 & 4 & 3\\1 & 4 & 5\end{array}\right)$$