Normalverteilung: In einer Anlage werden Gläser mit Impfstoff befüllt.

Question

In einer Anlage werden Gläser mit Impfstoff befüllt. Im Mittel beträgt die Füllmenge jedes Glases nach den Angaben des Werkes 3 ml. Die maschinelle Befüllung erfolgt mit einer Standardabweichung von σ = 0.2 ml. Gehen Sie davon aus, dass die Füllmenge X der Gläser normalverteilt ist mit diesen Parametern.

Annahme: Es soll vermieden werden, dass ein Glas weniger als 2.5 ml Impfstoff enthält, da sonst nicht mehr die vertraglich zugesicherte Anzahl Impfdosen daraus gezogen werden kann.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes zufällig aus der Produktion gezogenes Glas weniger als 2.5 ml Impfstoff enthält?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes zufällig gezogenes Glas zwischen 2.5 ml und 3.2 ml Impfstoff enthält?

c) In welchem Intervall [μ - k⋅σ; μ + k⋅σ] rund um den Sollwert μ = 3 ml liegen die Füllmengen von 90%, 95% bzw. 99% aller abgefüllten Gläser?

d) Zur Qualitätskontrolle wird aus der Produktion eine Zufallsstichprobe vom Umfang von 100 Gläsern gezogen. Die Zufallsgröße Y beschreibt die Anzahl der Gläser in der Stichprobe, die unter 2.5 ml enthalten.

Welcher Verteilung folgt Y, und mit welchen Parametern?

Berechnen Sie: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

(i) kein einziges Glas in der Stichprobe weniger als 2.5 ml Impfstoff enthält?

(ii) höchstens 2 Gläser weniger als 2.5 ml Impfstoff enthalten?

e) Argumentieren Sie: Könnten Sie für die Zufallsgröße Y näherungsweise auch mit einer Normalverteilung arbeiten? Trifft die Faustregel für den Grenzwertsatz von DeMoivre-Laplace zu?

Answer 1

$\Phi(x) := \int\limits_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

a) $\Phi\left(\frac{2,5-\mu}{\sigma}\right)$

b) $\Phi\left(\frac{3,2-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{2,5-\mu}{\sigma}\right)$

c) Löse die Gleichung $\Phi\left(\frac{k\cdot\sigma-\mu}{\sigma}\right) = \frac{100\% - 90\%}{2}$

d) $Y$ ist binomialverteilt mit $n = 100$ und $p = \Phi\left(\frac{2,5-\mu}{\sigma}\right)$.

e) Die Faustregel für den Grenzwertsatz von DeMoivre-Laplace trifft nicht zu.