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Aufgabe:

Berechnen Sie den Ortsvektor rS\vec{r}_{S} des Schwerpunkts einer Halbkugel mit Radius R = 4cm, deren kreisförmige Grundfläche auf der x-y-Ebene liegt und deren Wölbung in positiver z-Richtung zeigt. Der Mittelpunkt der Grundfläche liegt im Ursprung.
Die Halbkugel hat die Dichtefunktion ρ(x,y,z) : =a+bzρ(x,y,z) := a+bz, a = 3 kgcm3 \frac{kg}{cm^3} und b = 4 kgcm4 \frac{kg}{cm^4}
Bestimmen Sie zuerst das Ergebnis für allgemeine R, a, b und bestimmen Sie danach das Resultat für den konstanten Fall.


Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher wie genau ich das jetzt berechnen soll. Muss ich schon im Vorhinein das Volumen einer Halbkugel ermitteln(Also die Hälfte des Rotationskörper von r2x2 \sqrt{r^2-x^2} von 0 nach r) und dann damit weiterrechnen, oder wie geht man so ein Problem an? Könnte mir das jemand bitte erklären? Vielen Dank im Voraus

Mfg

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Aloha :)

Wir formulieren den Vektor r\vec r zum Abtasten der Halbkugel in Kugelkoordinaten:r=(rcosφsinϑrsinφsinϑrcosϑ);r[0;R]  ;  φ[0;2π]  ;  ϑ[0;π2]\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;R]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]mit dem bekannten Volumenelement: dV=r2sinϑdrdφdϑ\quad dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta

Mit der Dichtefunktionρ(x,y,z)=a+bz=a+brcosϑ=ρ(r,ϑ)\rho(x,y,z)=a+bz=a+br\cos\vartheta=\rho(r,\vartheta)bestimmst du zuerst die Masse der Halbkugel:

M=Vdm=VρdV=r=0Rφ=02πϑ=0π/2(a+brcosϑ)r2sinϑdrdφdϑM=\int\limits_Vdm=\int\limits_V\rho\,dV=\int\limits_{r=0}^R\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}(a+br\cos\vartheta)\cdot r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta

Wenn du die Masse MM hast, kannst du damit den Schwerpunkt Rs\vec R_s bestimmen:

Rs=1MVrdm=1MVrρdV\vec R_s=\frac{1}{M}\int\limits_V\vec r\,dm=\frac{1}{M}\int\limits_V\vec r\,\rho\,dVRs=1Mr=0Rφ=02πϑ=0π/2(rcosφsinϑrsinφsinϑrcosϑ)(a+brcosϑ)r2sinϑdrdφdϑ\phantom{\vec R_s}=\frac{1}{M}\int\limits_{r=0}^R\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}(a+br\cos\vartheta)\cdot r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta

Die Freude am Ausrechnen der Integrale möchte ich dir nicht nehmen. Probier mal bitte, ob du die alleine hinkriegst. Falls nicht, einfach nochmal in den Kommentaren nachfragen.

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