Berechnung des Ortsvektors eines Schwerpunkt in einer Halbkugel

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Ortsvektor $$\vec{r}_{S}$$ des Schwerpunkts einer Halbkugel mit Radius R = 4cm, deren kreisförmige Grundfläche auf der x-y-Ebene liegt und deren Wölbung in positiver z-Richtung zeigt. Der Mittelpunkt der Grundfläche liegt im Ursprung.
Die Halbkugel hat die Dichtefunktion $$ρ(x,y,z) := a+bz$$, a = 3 \( \frac{kg}{cm^3} \) und b = 4 \( \frac{kg}{cm^4} \)
Bestimmen Sie zuerst das Ergebnis für allgemeine R, a, b und bestimmen Sie danach das Resultat für den konstanten Fall.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher wie genau ich das jetzt berechnen soll. Muss ich schon im Vorhinein das Volumen einer Halbkugel ermitteln(Also die Hälfte des Rotationskörper von \( \sqrt{r^2-x^2} \) von 0 nach r) und dann damit weiterrechnen, oder wie geht man so ein Problem an? Könnte mir das jemand bitte erklären? Vielen Dank im Voraus

Mfg

Answer 1

Aloha :)

Wir formulieren den Vektor \(\vec r\) zum Abtasten der Halbkugel in Kugelkoordinaten:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;R]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$mit dem bekannten Volumenelement: \(\quad dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta\)

Mit der Dichtefunktion$$\rho(x,y,z)=a+bz=a+br\cos\vartheta=\rho(r,\vartheta)$$bestimmst du zuerst die Masse der Halbkugel:

$$M=\int\limits_Vdm=\int\limits_V\rho\,dV=\int\limits_{r=0}^R\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}(a+br\cos\vartheta)\cdot r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$

Wenn du die Masse \(M\) hast, kannst du damit den Schwerpunkt \(\vec R_s\) bestimmen:

$$\vec R_s=\frac{1}{M}\int\limits_V\vec r\,dm=\frac{1}{M}\int\limits_V\vec r\,\rho\,dV$$$$\phantom{\vec R_s}=\frac{1}{M}\int\limits_{r=0}^R\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}(a+br\cos\vartheta)\cdot r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$

Die Freude am Ausrechnen der Integrale möchte ich dir nicht nehmen. Probier mal bitte, ob du die alleine hinkriegst. Falls nicht, einfach nochmal in den Kommentaren nachfragen.