Aloha :)
Wir formulieren den Vektor r zum Abtasten der Halbkugel in Kugelkoordinaten:r=⎝⎛rcosφsinϑrsinφsinϑrcosϑ⎠⎞;r∈[0;R];φ∈[0;2π];ϑ∈[0;2π]mit dem bekannten Volumenelement: dV=r2sinϑdrdφdϑ
Mit der Dichtefunktionρ(x,y,z)=a+bz=a+brcosϑ=ρ(r,ϑ)bestimmst du zuerst die Masse der Halbkugel:
M=V∫dm=V∫ρdV=r=0∫Rφ=0∫2πϑ=0∫π/2(a+brcosϑ)⋅r2sinϑdrdφdϑ
Wenn du die Masse M hast, kannst du damit den Schwerpunkt Rs bestimmen:
Rs=M1V∫rdm=M1V∫rρdVRs=M1r=0∫Rφ=0∫2πϑ=0∫π/2⎝⎛rcosφsinϑrsinφsinϑrcosϑ⎠⎞(a+brcosϑ)⋅r2sinϑdrdφdϑ
Die Freude am Ausrechnen der Integrale möchte ich dir nicht nehmen. Probier mal bitte, ob du die alleine hinkriegst. Falls nicht, einfach nochmal in den Kommentaren nachfragen.