0 Daumen
99 Aufrufe

Aufgabe:

Berechnen Sie den Schwerpunkt einer Halbkugel mit Radius R mit Dreifachintegralen. ( V =(2/3)*π*R^3)


Problem/Ansatz:

Welche Grenzen muss ich verwenden?

von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Lege die Halbkugel mit der flachen Seite auf die \(xy\)-Ebene, den Mittelpunkt der flachen Seite in den Ursprung. Aus Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt \(S(0|0|z_S)\) der Halbkugel auf der \(z\)-Achse:$$z_S=\frac1V\int\limits_Vz\,dV$$

Das Volumen der Halbkugel ist \(V=\frac23\pi R^3\). Zur Berechnung des Integrals drängen sich Kugelkoordinaten auf:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;R]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in\left[0;\frac\pi2\right]\;;\;dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$Beachte, dass der Winkel \(\vartheta\) nicht wie üblich bis \(\pi\) läuft, sondern nur bis \(\frac\pi2\), weil wir ja nur eine halbe Kugel haben, also nur positive \(z\)-Werte.

Damit haben wir alle Information zusammengetragen, um \(z_S\) zu berechnen:$$z_S=\frac{1}{\frac23\pi R^3}\int\limits_{r=0}^R\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\underbrace{r\cos\vartheta}_{=z}\;\underbrace{r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta}_{=dV}=\frac{1}{\frac23\pi R^3}\int\limits_{r=0}^Rr^3\,dr\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\frac12\sin(2\vartheta)\,d\vartheta$$$$\phantom{z_S}=\frac{1}{\frac23\pi R^3}\left[\frac{r^4}{4}\right]_{r=0}^R\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\left[-\frac14\cos(2\vartheta)\right]_{\vartheta=0}^{\pi/2}=\frac{1}{\frac23\pi R^3}\cdot\frac{R^4}{4}\cdot2\pi\cdot\left(\frac14+\frac14\right)=\frac38R$$

Der Schwerpunkt ist also \(S\left(0|0|\frac38R\right)\).

von 123 k 🚀

dass man sich bei so einem Integral verrechnet - ok, das kann passieren. Aber dass Du dieses Ergebnis

Der Schwerpunkt ist also \(S(0|0|1)\).

so stehen lässt, das überrascht mich wirklich!

Das kann ja nur falsch sein. Es ist doch offensichtlich - ganz ohne Kenntnisse der Integralrechnung - dass dort stehen muss:$$S = (0|0|a\cdot R)\quad 0 \le a \le \frac12$$Da ist irgendwo eine Länge verloren gegangen

\(dV=r\,dr\,d\varphi\,d\vartheta\)

hier steht links ein Volumen und rechts eine Fläche.

Oha, ich habe das Volumenelement von Zylinderkoordinaten irgendwie mit dem von Kugelkkorrdinaten vermischt... Habe das in meiner Antwort korrigiert.

Danke dir, Werner, für den Hinweis.

0 Daumen

Hallo

phi von 0 bis 2pi, theta von 0 bis pi/2, r von 0 bis r,

aber eine Skizze zeigt das doch direkt?

lul

von 88 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community