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Aufgabe:

Es seien a0, . . . , an-1 verschiedene reelle Zahlen. Die Matrix

\( V_{n}=\left(\begin{array}{ccccc}1 & a_{0} & a_{0}^{2} & \cdots & a_{0}^{n-1} \\ 1 & a_{1} & a_{1}^{2} & \cdots & a_{1}^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & a_{n-2} & a_{n-2}^{2} & \cdots & a_{n-2}^{n-1} \\ 1 & a_{n-1} & a_{n-1}^{2} & \cdots & a_{n-1}^{n-1}\end{array}\right) \)

heißt Vandemonde-Matrix.


(a) Es sei T : ℝk[x] → ℝk+1 die durch die Formel T(p) = (p(a0), ... , p(ak))T definierte
lineare Abbildung.

Zeigen Sie: Die Darstellungsmatrix von T bezüglich der üblichen Basen
für ℝk[x] und ℝk+1 ist die Vandermonde-Matrix Vk+1.


Problem/Ansatz:

was sind die üblichen Basen und wie soll ich die Aussage dann zeigen?
Ich bekomme es einfach nicht hin.

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Die üblichen Basen sind für \( \mathbb R_{\le k}[T] \) die Standardmonombasis \( (1,T,T^2,...,T^{k-1},T^k) \).

Und für \( \mathbb R^{k+1} \) die Standardbasis \( (e_1, e_2,..., e_k, e_{k+1}) \) mit den wohlbekannten Basisvektoren

$$ e_i = \begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\0\\1\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix} $$

Wobei die \( 1 \) bei \( e_i \) in der \( i \)-ten Komponente steht.


Wie musst du vorgehen um eine Darstellungsmatrix auszurechnen?

Eigentlich muss ich dafür ja dann T(1), T(x), T(x2) usw. berechnen, und das Ergebnis als Linearkombination der Elemente in der Basis darstellen, glaube ich.

Aber das kriege ich irgendwie nicht hin.

Ja, das klingt doch schon einmal gut.

Was ist denn \( T(1) \) und was ist \( T(x) \)?

(Ich sehe gerade meine Notation oben ist etwas verwirrend, es sollt besser x statt T heißen ^^)

Genau das ist mein Problem...

T(1) ist ja laut Formel (1(a0), 1(a1),..., 1(ak)T

T(x) das gleiche mit x statt 1.

Aber was soll das sein?
Ich stehe gerade total auf dem Schlauch.

Das sind Polynome, in die du Werte einsetzt.

z.B. beim Polynome \( p(x) = x^4 + 3x+2 \) wenn du da \( a_i \) einsetzt kommt \( p(a_i) = a_i^4 + 3a_i + 2 \) raus, etc.

und jetzt machst du das eben mit den Polynomen

\( p(x) = 1 \) usw. bis \( p(x) = x^k \)

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