Zeigen Sie, dass det(A) = 0 gilt.

Question

Aufgabe:Linear Algebra

Problem/Ansatz:

Sei A ∈ Kn,n eine Matrix, deren Zeilen linear abhängig sind. Zeigen Sie, dass det(A) = 0 gilt.

Answer 1

Hallo :-)

Betrachte mal eine Matrix \(A\in \mathbb{n,n}\) mit Zeilen \(a_1,...,a_n\).

Nun seien bei \(A\) mindestens zwei Zeilen \(a_i\) und \(a_j\) mit \(i\neq j\) linear abhängig. Dann gilt also \(a_i=\lambda\cdot a_j\) für ein \(\lambda\in \mathbb{K}\). Es gilt also

\(A=\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_i \\\vdots\\a_j \\\vdots\\a_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\\lambda\cdot a_j \\\vdots\\a_j \\\vdots\\a_n \end{pmatrix}\).

Jetzt kannst du mit euren Axiomen der Determinante weitermachen:

\(\det(A)=...\)   .