Finden Sie eine reelle, invertierbare Matrix P derart, dass P−1AP diagonal ist.

Question

Aufgabe:

Es sei

A = \( \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 6 & -2 \end{pmatrix} \)

Finden Sie eine reelle, invertierbare Matrix P derart, dass P⁻¹AP diagonal ist.

Comments

- Berechne die Eigenwerte von A

- Bestimme dazugehörige Eigenvektoren.

- Bilde P als Matrix aus 2 linear unabhängigen Eigenvektoren.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Bestimme zunächst das charakteristische Polynom vom \(A\) und zerlege es in Linearfaktoren.
Das Resultat lautet \(p_A(x)=x^2+7x-8=(x+8)(x-1)\).
Die Eigenwerte sind also \(-8\) und \(1\).
Bestimme nun zu jedem dieser Eigenwerte einen Eigenvektor, d.h löse
das LGS \((A-\lambda E_2)v=0\) für \(\lambda\in\lbrace-8,1\rbrace\). Diese Eigenvektoren bilden die Spaltenvektoren der gesuchten Matrix. Das Ergebnis sollte etwa wie folgt lauten:$$\begin{pmatrix}-8&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&2\end{pmatrix}^{-1}\cdot\begin{pmatrix}-5&3\\6&-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&1\\1&2\end{pmatrix}.$$ Damit ist eine gesuchte Zerlegung gefunden.