Aloha :)
Die Determinante aus \(n\) Vektoren gibt an, wie groß das \(n\)-dimensionale Volumen ist, das die \(n\) Vektoren aufspannen. Hier ist die Determinante ungleich null, denn:
$$\left|\begin{array}{rrr}1 & -3 & 2\\-2 & 5 & 0\\3 & -10 & -1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}7 & -23 & 0\\-2 & 5 & 0\\3 & -10 & -1\end{array}\right|=-(7\cdot5-2\cdot23)=11\ne0$$Das heißt, die 3 Vektoren spannen ein 3-dimensionales Volumen auf, liegen also nicht in einer Ebene. Sie sind daher linear unabhängig und bilden eine Basis des \(\mathbb R^3\).
