Formdarstellung von Funktionen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x^3-2x^2

Problem/Ansatz:

Bestimmen Sie für die Funktion g(x)=x^3-5x^2+7x-2 eine Darstellung der Form g(x)= (x-a)^3-2(x-a)^2+b

Answer 1

Aloha :)

Ich habe nicht verstanden, warum wir die Funktion \(f\) hier brauchen, wir sollen ja nur \(g\) umformen. Hierzu gehst du am einfachsten vom Zielformat aus und rechnest wie folgt:

$$g(x)=(x-a)^3-2(x-a)^2+b$$$$\phantom{g(x)}=(x^3-3x^2a+3xa^2-a^3)-2(x^2-2ax+a^2)+b$$$$\phantom{g(x)}=x^3+\underbrace{(-3a-2)}_{=-5}x^2+\underbrace{(3a^2+4a)}_{=7}x+\underbrace{(-a^3-2a^2+b)}_{=-2}$$Wir sehen sofort, dass \(a=1\) die ersten beiden Bedingungen erfüllt. Dann muss in der letzten Klammer \(b=1\) sein. Also haben wir gefunden:$$g(x)=x^3-5x^2+7x-2=(x-1)^3-2(x-1)^2+1$$

Comments

Vielen Dank für deine Ausführliche Erklärung.

Einen schönen Abend wünsche ich dir.

Answer 2

Hallo:-)

Multipliziere den Term \((x-a)^3-2\cdot (x-a)^2+b\) aus, ordne nach den Potenzen und mache mit dem Ausgangsterm \(1\cdot x^3-5\cdot x^2+7\cdot x-2\) einen Koeffizientenvergleich, um so an \(a\) und \(b\) zu kommen.

Answer 3

g(x)=x^3-5x^2+7x-2 eine Darstellung der Form g(x)= (x-a)^3-2(x-a)^2+b

x^3-5x^2+7x-2=(x-a)^3-2(x-a)^2+b

x^3-5x^2+7x-2=x^3-3ax^2+3a^2*x-a^3-2*x^2+4ax-2a^2+b

x^3-5x^2+7x-2=x^3-3ax^2-2*x^2+3a^2*x+4ax-a^3-2a^2+b

x^3-5x^2+7x-2=x^3-x^2*(3a+2)+x*(3a^2+4a)-a^3-2a^2+b

Koeffizientenvergleich:

1.)3a+2=5

2.)3a^2+4a=7

3.)-a^3-2a^2+b=-2

a=1 und b=1

g(x)= (x-1)^3-2(x-1)^2+1

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung.

Einen schönen Abend wünsche ich dir.

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Deine Erklärung ist auch genau so gut wie die von Tschkabumba, also auch die Beste.

Vielen Dank nochmals

Answer 4

Ich habe nicht verstanden, warum wir die Funktion \(f\) hier brauchen

Der Grund ist folgender :
g entsteht aus f durch eine Verschiebung um a in x-Richtung und um b in y-Richtung :
g(x) = f(x-a) + b. Wenn man also etwa die Wendepunkte der Funktionen bestimmt :
W_f = (2/3 | -16/27)  und W_g = (5/3 | 11/27), so kann man direkt
a = 5/3 - 2/3  =  1  und b = 11/27 - (-16/27)  =  1  ablesen.

Comments

Nach der Idee von hj2166 würde das so aussehen:

f(x) = x^3 - 2·x^2
f'(x) = 3·x^2 - 4·x
f''(x) = 6·x - 4 = 0 -->x = 2/3
f(2/3) = -16/27

g(x) = x^3 - 5·x^2 + 7·x - 2
g'(x) = 3·x^2 - 10·x + 7
g''(x) = 6·x - 10 = 0 → x = 5/3
g(5/3) = 11/27

a = 5/3 - 2/3 = 1

b = 11/27 - (-16/27) = 1

g(x) = (x - 1)^3 - 2·(x - 1)x^2 + 1

Der Vorteil liegt auf der Hand. das Ausmultiplizieren der Klammern und das spätere Zusammenfassen entfällt. Ist also erheblich einfacher zu rechnen.

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Du solltest meinen Kommentar nicht in eine Antwort umwandeln, denn es ist keine.

Du irrst dich nämlich mit dem Satz   das Ausmultiplizieren der Klammern und das spätere Zusammenfassen entfällt .

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Du irrst dich nämlich mit dem Satz das Ausmultiplizieren der Klammern und das spätere Zusammenfassen entfällt .

Die Aufgabe impliziert doch das es eine Darstellung der Form g(x) = (x - a)^3 - 2(x - a)^2 + b gibt.

Und wenn dies der Fall ist, dann entfällt auch das Ausmultiplizieren und zusammenfassen.

Oder sehe ich das verkehrt?

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Die Aufgabe impliziert doch ..

Davon überzeuge ich mich immer lieber selbst. Die behauptete Existenz einer Lösung zählt für mich nicht zu den zu verwendenden Vorausetzungen.
Ob die Graphen zweier kubischer Funktionen überhaupt dieselbe Form haben lässt sich nämlich (im Gegensatz zu Parabeln) nicht auf einen Blick an ihren Funktionstermen erkennen.