Komplexe Zahlen Halbgerade

Question

Wie erkenne ich, dass es sich bei folgender komplexen Teilmenge um eine Halbgerade handelt?

$$z=(1+i)+ λ *(5-2*i),λ  \geq 0$$

Reicht es einfach z auf die kartesische Form z=x+i*y umzuformen ?

Danke für die Hilfe.

Comments

Reicht es einfach z auf die kartesische Form z=x+i*y umzuformen ?

das ist immer die erste Reaktion, wenn man bei den komplexen Zahlen nicht weiter weiß ;-)

Versuche eine komplexe Zahl \(z_0=1+i\) als geschlossene Einheit zu sehen. Geometrisch anschaulich als (irgendein) Punkt in der Ebene. Dazu addierst Du eine zwei Zahl \(z_r= \lambda(5-2i)\). Geometrisch nichts anderes als eine Vektoraddition. Und von \(z_r\) kann man über den Parameter \(\lambda\) die Länge variieren. Also eine klassische Geradengleichung in Parameterform in der Ebene. Und weil \(\lambda\) beschränkt ist \((\lambda \ge 0)\), ist es nur eine Halbgerade.

(s. Antwort von racine_carrée)

Answer 1

Identifiziert man \(\mathbb{R}^2\) mit \(\mathbb{C}\) durch \(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=x+iy\), so kannst du das als Parameterdarstellung schreiben:$$g: \, \vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 5\\-2 \end{pmatrix} \, \quad (\lambda \geq 0)$$ Eine Halbgerade ist es, weil \(\lambda \geq 0\) ist.