[ z - 2^(1/3) ] / [ z^3 - 2 ]

Question

Aufgabe:

[ z - 2^(1/3) ] / [ z^3 - 2 ]

Problem/Ansatz:

Berechnung der Polstellen mit komplexen zahlen

meine Ergebnisse:

Polstelle 1  z1 : 2^(1/3)

Polstelle 2  z2 : 1/2 *  [ -(2^(1/3)) +  i (2^(1/3) * 3^(1/2) ]

Polstelle 3 z3 ist die konjugierte von z2 also 1/2 *  [ -(2^(1/3)) - i (2^(1/3) * 3^(1/2) ]

kann das bitte jemand nachrechnen?

Answer 1

Hallo,

Ja Deine Ergebnisse stimmen:

Laut Wolfram Alpha stimmt es auch:

Real solution

\( z=\sqrt[3]{2} \)
Complex solutions
\( z \approx-0.62996-1.09112 i \)
\( z \approx-0.62996+1.09112 i \)

Comments

wow vielen Dank für die schnelle Antwort!

nun habe ich versucht den Residuensatz anzuwenden....

(Summe der 3 Res [f(z),zk] ) * 2pi*i

Aber wie lautet die Formel der einzelnen Residuen?

stimmt das so:  lim z -> z0  * (z-z0) * [ [ z - 2^(1/3) ]   /   [ (z - z0) (z-z1) (z-z2) ] ]

oder muss im nenner das stehen : (z + z0)(z - z1)(z-z2)

weil z0 ja positiv ist.

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Kannst Du mal bitte die genaue Aufgabe posten?

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Aufgaben:

a) bestimmen Sie die Polstellen und die Residuen der Funktion:

f(z) = [ z - 2^(1/3) ] / [ z^3 - 2 ] an der Stelle z0. Geben Sie die Ordnungen an

b) Berechnen Sie das folgende Integral unter Verwendung des Residuensatzes:

Integral von - Unendlich bis + Unendlich [ x - 2^(1/3) ] / [ x^3 - 2 ]

Meine Antwort wäre:

Polstellen sind:

Polstelle 1  z1 : 2^(1/3)
Polstelle 2  z2 : 1/2 *  [ -(2^(1/3)) +  i (2^(1/3) * 3^(1/2) ]
Polstelle 3 z3 ist die konjugierte von z2 also 1/2 *  [ -(2^(1/3)) - i (2^(1/3) * 3^(1/2) ]

Die Ordnungen sind

z1: 1. Ordnung

z2 und z3 sind von der 3. Ordnung.

Die Residuen kann ich leider nicht berechnen da ich nicht genau weiß wie die Formel zu diesen 3 Polstellen aussieht. Ich würde gerne zu jeder Polstelle die passende Formel damit ich das verstehen kann.

zu b)  glaube ich, muss man nur die 3 Residuen addieren und * 2pi * i rechnen.