Isolierte Singularität mit Fallunterscheidung?

Question

Aufgabe:

Untersuche die Funktion $f(z) = z^k \sin\left(\frac{1}{z}\right), \, k \in \mathbb{Z}$, auf ihre Singularitäten (Lage und Art).

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen? Also an sich weiß ich was zu tun ist, aber solche Aufgaben habe ich immer Probleme damit $k$ zu definieren bzw. mir genau die fälle von $k$ vorzustellen und auf worauf ich achten soll. Kurz gesagt ich habe nicht so wirklich ein Gefühl dafür..

Also am Anfang würde ich erstmal eine Taylor Entwicklung von $\sin\left(\frac{1}{z}\right)$ machen...

 $\sin\left(\frac{1}{z}\right) = \frac{1}{z} - \frac{1}{6z^3} + \frac{1}{120z^5} - \cdots$

bzw. mit $z^k$: $f(z) = z^k \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{6z^3} + \frac{1}{120z^5} - \cdots \right)$

Ab hier beginnen meine Probleme, weil jetzt müsste ich ja eine Fallunterscheidung für $k$ machen.

Aber ich bin ein bisschen lost, bei solche Situationen. Kann mir da jemand helfen?

Ich wäre sehr sehr dankbar dafür

Danke im voraus

Comments

Weißt Du, welche Singularität im Fall k=0 vorliegt?

Answer 1

Überleg mal zuerst, wo denn überhaupt Singularitäten vorliegen?

Und dann mag Deine Potenzreihenentwicklung zum Abschätzen des Verhaltens für den Sinus bei dem Wert helfen.

Schließlich muß man nur noch ein paar Fälle für k unterscheiden