Berechnen sie ∫γ v*ds

Question

Gegeben sei die Funktion f: ℝ³-> ℝ,    f(x,y,z) = xz-2y

Weiterhin seien eine Kurve γ: [0,1] -> R³ mit Parametrisierung

γ (t) = t * \( \begin{pmatrix} 0\\1\\.1 \end{pmatrix} \) + (1-t) * \( \begin{pmatrix} 0\\-1\\1 \end{pmatrix} \)

und ein Vektorfeld v: ℝ³ -> ℝ³ durch

v (x,y,z) = -grad_(x,y,z)f gegeben.

Berechnen sie ∫_γ  v*ds

Hallo, kann mir jemand sagen, wie ich diese Aufgabe zu berechnen habe?

Answer 1

Hallo,

zunächst gilt:$$v:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, (x,y,z)^T\mapsto -\operatorname{grad}f(x,y,z)=\begin{pmatrix} -z\\2\\-x \end{pmatrix}$$ Das Kurvenintegral 2. Art berechnest du so:$$ \begin{aligned} \int \limits_{\gamma} \vec{f} \cdot \mathrm{d} \vec{s} &=\int \limits_{0}^{1} \vec{f}(\vec{\gamma}(t)) \cdot \frac{\mathrm{d} \vec{\gamma}}{\mathrm{d} t} \mathrm{~d} t \\ &=\int \limits_{0}^{1}\left(\begin{array}{c}t-2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \mathrm{d} t \\ &=\int \limits_{0}^{1}2 \mathrm{d} t \\ &=[2 t]_{0}^{1} \\ &=2 \end{aligned}$$

Answer 2

Aloha :)

Hier brauchst du eigentlich gar nichts zu rechnen, denn der Integrand löst sich in Luft auf:

$$\int\limits_\gamma\vec v\,d\vec s=-\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{(0;-1;1)}^{(0;1;-1)}\!\!\frac{\partial f}{\partial\vec s}\,d\vec s=-\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{(0;-1;1)}^{(0;1;-1)}\!\!\!\!df=\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{(0;1;-1)}^{(0;-1;1)}\!\!\!\!df=f(0;-1;1)-f(0;1;-1)=2-(-2)=4$$

Ich bin davon ausgegangen, dass die \((.1)\)-Komponente des Vektors in Wirklichkeit eine \((-1)\)-Komponente ist.

Comments

Ah okay gut zu wissen,

eine Frage hätte ich da aber und zwar berechnet man um die 2 und -2 zu bekommen, 0-1-1, aber dann sind doch beide Ergebnisse negativ und nicht nur eins.

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Die untere Grenze des Integrals ist der Startpunkt \((0;-1;1)\). Die obere Grenze des Integrals ist der Endpunkt \((0;1;-1)\). Wegen des negativen Vorzeichens von \((-df)\), habe ich die beiden Grenzen vertauscht und dafür das Vorzeichen negiert. Das negative Vorzeichen ist sozusagen durch Umkehrung des Weges kompensiert worden.