Also das $$ (1) \quad \left| \sum_{\nu=m+1}^{n} a_{\nu} \right| < \epsilon $$ gelten muss ist klar, denn ansonsten würden sich ja die letzten Terme der Summe zu unendlich summieren. Außerdem ist das ja nur die Definition des Cauchy Kriteriums.
Mit der speziellen Wahl von \( n = 2m \) und \( \epsilon = \frac{1}{2} \) ergibt sich ja durch einsetzten in Formel (1)
$$ (2) \quad \sum_{\nu=m+1}^{2m} \frac{1}{\nu} $$ Jetzt ist der erste Term der Summe \( \frac{1}{m+1} > \frac{1}{2m} \) Und das gilt auch für alle folgenden Terme, bis auf den letzten. Dadurch kommt man zu der Abschätzung der Summe
$$ (3) \quad \sum_{\nu=m+1}^{2m} \frac{1}{\nu} > m \frac{1}{2m} $$ weil es ja \( m \) Summanden sind. Aber \( m \frac{1}{2m} = \frac{1}{2} \) und somit nicht kleiner \( \epsilon = \frac{1}{2} \)
