Berechnen Sie den Basisweckselmatrix a) von B nach B* und b) B* nach B .

Question

Aufgabe:

Seien B die Standardbasis von R3[x] B= {1, x, x^2, x^3} , und B* eine weitere Basis für R3[x] B*= {x^3+x^2+x, x^3-x,x^2+1,1}
Berechnen Sie den Basisweckselmatrix a) von B nach B* und b) B* nach B .

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe hier ist schon klar wie man sie berechnet . Meine einzige frage hier ist , ob die Reihnfolge eine Rolle spielt ?
Z.B ist
x^3+x^2+x = 0 (1) + 1(x) + 1(x^2) + 1(x^3) =? 1(x^3) + 1(x^2)  + 1(x) + 0 (1) .
......
Ist die beide darstellungen richtig? oder muss man was beachten ?

Answer 1

Aloha :)

Wenn du einen Vektor \(\vec r\) mit Hilfe der Vektoren einer Basis \(B=(\,\vec b_1,\vec b_2,\ldots,\vec b_n\,)\) ausdrückst, hat dieser die Form:$$\vec r=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}_B=a_1\cdot\vec b_1+a_2\cdot\vec b_2+\ldots+a_n\cdot\vec b_n$$wobei \(a_i\) die Komponenten sind. Daher ist die Reihenfolge der Vektoren innerhalb einer Basis nicht beliebig. Wenn du z.B. zwei Basisvektoren vertauschst, musst du auch die zugehörigen Komponenten vertauschen.

Hier ist die Standardbasis \(B=(1,x,x^2,x^3)\) vorgegeben. Damit ist eine Reihenfolge festgelegt. Zum Beispiel ist$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{B^\ast}\!\!\!=x^3+x^2+x=0\cdot1+1\cdot x+1\cdot x^2+1\cdot x^3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}_B$$