Aufgabe:
Aufgabe 1
a) Geben Sie eine surjektive Abbildung f : {1, 2}×{#, §}→{a, b, c, d} an.
b) Geben Sie eine injektive Abbildung f : {x ∈ ℝ| x2 −5x + 6 = 0}→{v, w} an.
Begründen Sie jeweils, warum die von Ihnen angegebene Abbildung die geforderte Eigenschaft
erfüllt.
Aufgabe 2
Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
a) f : ℝ→ℝ, f(x) = 8x−4
b) g : ℝ2→ℝ, g\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) = 2x−4y−2
c) h : ℝ2→ℝ2 h\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} \frac{1}{2}f (x + y) + g(x, y)\\x + y \end{pmatrix} \)
Aufgabe 3
Es seien M, N zwei Mengen und f : M → N eine Abbildung. Beweisen oder widerlegen Sie
für zwei beliebige Teilmengen A, B ⊂ M die folgenden Aussagen:
a) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B),
b) f (B \ A) = f (B) \ f (A),
c) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
Aufgabe 4
Es seien A, B zwei Mengen und f : A → B eine Abbildung. Beweisen Sie, dass die folgenden
Aussagen äquivalent sind.
a) f ist injektiv, genau dann wenn
i) für alle b ∈ B die Faser f −1(b) aus höchstens einem Element besteht.
ii) für alle x, y ∈ A gilt: f(x) = f(y) ⇒ x = y.
b) f ist surjektiv, genau dann wenn
i) für alle b ∈ B die Faser f −1(b) nicht leer ist.
ii) für alle b ∈ B existiert ein a ∈ A mit f (a) = b.
Problem/Ansatz:
Wir haben neu angefangen mit dem Thema Abbildungen, und ich verstehe da wirklich gar nichts, ich weiß nur was injektiv und surjektiv bedeutet. Ich bin dankbar für jede Hilfe.
