Zeige, dass ein bestimmter Grenzwert existiert

Question

Aufgabe:

Zeige: die Folge \( \frac{a_n + a_{n+1}}{2} \)  =a

So, ich habe bis jetzt folgendes raus und würde gerne wissen, ob ich der Sache nahe gekommen bin oder ob ich komplett daneben liege.

Über Hilfe würde ich mir sehr freuen!

Nun, meine Lösung:

Z.z.: ∀ε>a ∃N ∈ ℕ∀n≥N

Beweis:

Sei ε>0 beliebig.

Wählen N∈ℕ mit N>2ε+a

| \( \frac{a_n + a_{n+1}}{2} \) - a| < ε

<=> \( \frac{a_n + a_{n+1}}{2} \) - a < ε

<=> a_n+a_n+1 > 2ε+a

=> Wahr, da n≥N≥2ε+a

(Der Zähler sollte eigentlich so aussehen: a_n + a_n+1, aber irgendwie erkennt es den bruch dann nicht als Bruch an)

Comments

Der Zähler sollte eigentlich so aussehen: a_n + a_n+1,

a_n + a_{n+1}

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Möglicherweise ist folgendes gemeint:$$\left\lvert\frac{a_n+a_{n+1}}2-a\right\rvert=\left\lvert\frac{a_n-a}2+\frac{a_{n+1}-a}2\right\rvert\le\tfrac12\lvert a_n-a\rvert+\tfrac12\lvert a_{n+1}-a\rvert\le\tfrac12\varepsilon+\tfrac12\varepsilon=\varepsilon.$$

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Oh, das erscheint logisch, danke dir!