Komplexe Zahlen im zweidimensionalen Raum darstellen

Question

Aufgabe:

(Komplexe Zahlen im $\mathbb{R}^{2}$ veranschaulichen)

Bestimmen Sie jeweils die Menge aller komplexen Zahlen $z$, die die angegebenen Bedingungen erfüllen und zeichnen Sie diese Mengen in der komplexen Ebene ein:
(i) $\operatorname{Im}(z+\mathrm{i} z)>-1$,
(ii) $\left|\frac{z-3}{z+3}\right| \leq 2$,
(iii) $|z|=\frac{1}{|z|}=|z+1|$.

Answer 1

Zu (1)

Mit $z = x + iy$ folgt $$\operatorname{Im} (z +iz) = x + y > -1$$ also

$$y > -x - 1$$ D.h.alle $\{ \ z \in \mathbb{C} \ | \ \operatorname{Im} z > -x -1 \}$ erfüllen die Ungleichung

Comments

Danke für die Hilfe. Weisst du was für ii) und iii) rauskommt ?

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Ja schon, aber es ist Deine Aufgabe.

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Ok bei der ii) habe ich x+3+iy/ x-3+iy < 2. Aber ich weiss nicht wie ich von da weiter rechnen soll

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$$|z-3| = \sqrt{(x-3)^2 + y^2 }$$ und $$|z+3| = \sqrt{(x+3)^2+y^2}$$ Daraus folgt

$$\frac{|z-3|}{|z+3|} = \frac{\sqrt{(x-3)^2 + y^2 } }{\sqrt{(x+3)^2+y^2}} \le 2$$

Daraus

$$x^2 + 10x+9 +y^2 \ge 0$$

Und daraus $$(x+5)^2 + y^2 \ge 16$$

Links ist ein Kreis mit Mittelpunkt $(-5 | 0 )$ und Radius größer als $4$. Alles was außßerhalb des Kreises oder auf der Kreislinie liegt zählt zur Lösung.

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Danke für deine Hilfe: die Letzte ist dann wahrscheinlich Wurzel aus (x+1)² + y² ?

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Ich glaube nicht. Wenn ich die Gleichungen richtig interpretiere sollen folgende alle Gleichungen gelten

$$(1) \quad |z| = \frac{1}{|z|}$$ $$(2) \quad \frac{1}{|z|} = |z+1|$$ $$(3) \quad |z| = |z+1|$$

Aus (1) folgt, das alle Zahlen auf dem Einheitskreis liegen sollen.

Aus (3) folgt d.h. alle Zahlen aus der komplexen Ebene mit $\operatorname {Re} z = -\frac{1}{2}$ zur Lösungsmenge gehören.

Wenn beide Bedingungen gelten sollen muss gelten $$\operatorname{Im} z = \pm \sqrt{ \frac{3}{4} }$$

Also bleiben nur noch die beiden Punkte $$\left( -\frac{1}{2} \bigg| \pm \sqrt{\frac{3}{4}}\right)$$ übrig.

Diese beiden Punkte erfüllen auch (2).

Damit ist die Lösungsmenge gegeben.

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Vielen Dank du hast mir wirklich weitergeholfen. Allerdings verstehe ich nicht ganz wie du bei der iii) von ∣z∣=∣z+1∣ auf -0.5 schliesst.

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$$|z| = |z+1|$$ bedeutet $$x^2+y^2 = (x+1)^2+y^2$$ und deshalb

$$0 = 2x + 1$$ also $$x = -\frac{1}{2}$$

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Klar stimmt, hätte ich  eigentlich selber drauf kommen sollen. Jetzt ist mir aber nur noch nicht klar wie wie du aus der 1) folgt das die Zahlen auf einem Einheitskreis liegen sollen. Danke für deine Hilfe und dann nehm ich deine Zeit auch nicht weiter in Anspruch.

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Aus $$|z| = \frac{1}{|z|}$$ folgt $$|z|^2 = 1$$ also $$x^2 + y^2 = 1$$ und das ist die Beschreibung des Einheitskreis.